Об одной студ. задаче про магнитное поле тока

          Физические формулы записаны в системе единиц СИ,  Pi = 3.14159 - число "пи",
Математическая символика: ** - возведение в степень.]



Небольшая, в 160 страниц, книжечка «ОБРАЗОВАННЫЙ УЧЁНЫЙ»*, была выпущена издательством «Наука» в 1979 году. Она рассказывает о физическом образовании в вузах Великобритании и о проблемах, стоящих перед преподавателями этих вузов в свете специфики данной страны – специфики, для характеристики которой, как мне кажется, хорошо подходит приведённая там-же цитата из писателя Чарльза Сноу: «По существу, наше единственное достояние – это наши способности».
Я в то время был студентом и хорошо помню, что название книги стало предметом шуток сокурсников в нашей группе «теоретическая физика» физфака Башкирского Гос. Университета – «а что, возможен необразованный учёный?» Сейчас, начитавшись текстов раздела «ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ» сайта Проза.ру, уверенно констатирую: возможен! Это гений от сохи, посылающий к чёрту все наработки классиков науки XX века и смело идущий в физике кривым путём. Их научный метод – пустопорожняя трепотня, а девиз:
«Если академики РАН не понимают моей теории, то тем хуже для академиков» …
Но предоставим нашим необразованным учёным решать вселенские проблемы (как правило, гении-от-сохи на мелочи в науке не размениваются), а сами вернёмся к англичанам и написанным ими текстам. Книга содержит в числе прочего 261 задачу экзамена для второкурсников Кембриджского Университета «классической» тематики, как они характеризуются редактором задач, тогдашним директором Кавендишской лаборатории Альфредом Б. Пиппардом. Моё внимание привлекла следующая

ЗАДАЧА 223 (стр. 115):
«На сферическую немагнитную оболочку намотали провод так, что в направлении, перпендикулярном обмотке на каждый сантиметр приходится N = 20 витков. Сила тока – i = 1 Aмпер. Доказать, что магнитное поле внутри оболочки пространственно однородно и найти его величину.             Ответ: Н = 16.8 Эрстед».

По определению,
                1 Эрстед = (250 / Pi) Ампер / метр.                (1)
(О понятии напряжённости магнитного поля Н и единице его измерения 1 Ампер / метр, см. на странице автора [1] - "Магнитное поле Земли. Гипотеза А. М. Шалаева".)
Такое странное соотношение между единицами измерения напряжённости H (не 100 и не 1000, как между метром и километром) объясняется тем, что единица 1 Ампер / метр была придумана инженерами для их технических расчётов, а единица 1 Эрстед «пришла» из фундаментальной физики.
Далее будут использованы общепринятые в физике сокращённые наименования единиц измерения, так что (1) примет вид             
                1 [Э] = 250 / Pi [А / м] = 79.6 [А / м]            (1')
Модуль напряжённости Земного поля на территории РФ равен примерно пол-Эрстеда.

Прежде всего надо попытаться представить себе эту ситуацию. Я нарисовал её на верхнем рисунке как понял условие. Нарисованы сечения 26 круговых витков проволоки, намотанной на [непоказанный] шар, скажем из парафина. Витки лежат в горизонтальной плоскости параллелей "глобуса". Ток подводится скруткой из 2 проводов снизу к его «южному» полюсу (скрутку рисовать трудно, поэтому её провода «распрямлены» - это непринципиально). От витка к витку идут 2 коротких меридионально ориентированных соединительных провода, токи в которых противоположны (не показаны).

«Что-то в этой задаче не то» - думал я, вычерчивая циркулем на бумаге сечение шара. …
И вспомнилось, как когда-то, году в 1990-м, когда я работал научным сотрудником НИИ, в одной из лабораторий потребовался тесламетр – измеритель напряжённости магнитного поля. Начальник лаборатории поручил оформить заказ на предприятие-изготовитель инженеру – немолодой уже женщине выпускнице одного из университетов Украины, нахватавшейся там разных квантовых теорий, но, увы, без мозгов.
Заказ пришёл. Пришёл при мне – я в тот день сидел в этой лаборатории за установкой импульсного намагничивания (здоровенная такая батарея конденсаторов, со стороны выглядевшая, как стол диспетчера).  Заведующий распаковал коробку, взял в руки описание – и схватился за голову. «О, Анна (так звали инженера) - я с утра был таким счастливым! И что Вы со мною сделали! ЭТО ЯМР - тесламетр!!!» Чтобы понять расстройство чувств учёного, надо знать, что ЯМР-тесламетр – прибор точнейший, НО РАБОТАЮЩИЙ ТОЛЬКО В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ в отличие от, скажем, тесламетра на эффекте Холла. Он не терпит никаких градиентов поля. А инженер Анна, при всём своём знании атомной физики, внимания на это не обратила. Начальник же, несмотря на свою высокую квалификацию (при мне они вдвоём с ассистентом за несколько недель намотали большой - больше метра в длину - многослойный соленоид с воздушным сердечником, дававший в центре 2000 Эрстед), однородное поле до такой степени, чтобы запустить в нем ЯМР-тесламетр, получить в своей лаборатории не имел возможности.

И вот я встречаю поистине сенсационный текст, где утверждается, что можно создать однородное магнитное поле С ПОМОЩЬЮ ОДНОГО МОТКА ПРОВОДА – только изогнуть провод надо хитрО: по поверхности сферы. «Не то, не то – надо проверять» – подумал я, просматривая книгу.
Я не стал пытаться доказать однородность поля в условиях задачи 223 – куда легче её (однородность) опровергнуть! Для этого достаточно вычислить напряжённость поля –
А. в центре обмотки О,
Б. вблизи любого из её полюсов, скажем «южного» полюса А.

Займёмся полем в точке О. Я уже упоминал в [1] ("Магнитное поле Земли ... "), что на сайте есть заметка
http://www.proza.ru/2013/05/24/203 "Как земля стала магнитом" Анатолия Шалаева, где её автор использует формулу для напряжённости поля на оси кругового тока di, имеющего радиус R. Выпишем ещё раз эту формулу:

                dH = (0.5·di·R**2) / ((R**2 + s**2)**1.5)                (2)

Здесь dH – величина напряжённости поля на оси симметрии кругового тока в точке, удаленной на расстояние s от плоскости этого кругового тока. Необходимо просуммировать (2) по всем виткам. 20 витков из условия могут уместиться на длине 1 см только будучи намотанными вплотную (на рисунке показать это было невозможно и витки расположены «редко»). Поэтому от суммирования по виткам можно перейти к интегрированию по углу g, введённому, как показано на рисунке. (Словами: g – это «географическая широта» точки наблюдения на нашем парафиновом шаре.) Если dg – угол, под которым из точки О видны те витки, суммарный ток через которые равен di, величина а – радиус шара в метрах, то
 
                di = N · i · a · dg.                (3)

(Напомню, что N = 20 [1 / см] = 2000 [1 / м]). Теперь (3) надо подставить в (2) и учесть теорему Пифагора:

                R**2 + s**2 = а**2.              (4)

К сожалению, символ интеграла в формат .txt ввести я не смог – придётся описывать этот интеграл по g словами: нижний предел – g = – Pi / 2, верхний – g = + Pi / 2, подинтегральная функция (после вышеупомянутых преобразований) –
                (1 / 2)· N · i ·(cos g)**2.
Интеграл берётся элементарно и окончательное выражение для напряжённости магнитного поля в центре обмотки O:

       H(O) = (N · i ·Pi) / 4 [А / м] = 2 · Pi**2 [Э] = 19.7 [Э]      (5)

Это ненамного, но больше, чем ответ в книге. И вновь та-же мысль: что-то не то! Но – идём дальше. Формула для поля на полюсе выводится ненамного сложнее, чем (5) и оказывается, что поле там «расходится»! Расходится как натуральный логарифм расстояния от точки наблюдения до полюса. Понятно, что учёт толщины провода эту расходимость снимет, но то, что с задачей составители напортачили, очевиден. 
         
Что же произошло с задачей – а всего лишь пропущено несколько слов. Переводчик на русский язык, по видимому, не причём – просто ситуация для составителей была настолько очевидной, что они на случайный пропуск слов внимания не обратили. Корректно написанное условие должно выглядеть так:
«На сферическую немагнитную оболочку намотали проводА так, что в направлении, перпендикулярном обмотке на каждый сантиметр приходится N = 20 витков. Сила тока НА ЭКВАТОРЕ – i = 1 Aмпер И УБЫВАЕТ К ПОЛЮСАМ КАК РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ НАБЛЮДЕНИЯ ДО ОСИ. Доказать, что магнитное поле внутри оболочки пространственно однородно и найти его величину.»

Таким образом, на рисунке теперь не 1 провод 26 раз обмотан вокруг шара, а – 26 проводов уложены по параллелям шара и подключены параллельно к батарее через 26 резисторов, подобранных так, что ток в проводе, лежащем на какой-то широте шара g, пропорционален косинусу этой широты. При этом никаких меридионально расположенных перемычек между витками, понятно, не нужно. И теперь  вместо (3) у нас будет

                di = N · i · a · cosg · dg.                (3а)

Интеграл после замены (3) на (3а) берётся ещё проще, чем раньше и оказывается равным

             H(O) = (2N · i) / 3 [А / м] = 16·Pi / 3 [Э] = 16.75 [Э].      (5)

Это число составители округлили до десятых и выдали как ответ. Верно. Как обо всём этом догадаться? Только путём чтения литературы по электродинамике. Нюанс в том, что эта литература для старшекурсников. Как уж там, в Кембридже, второкурсники доказывали постоянство величины в правой части (5) во всём объёме шара, я не знаю. «В лоб», по формуле (2), изучаемой на младших курсах ВТУЗов РФ, можно доказать постоянство напряжённости только на оси Oz шара (см. рисунок). Рекомендую проверить себя любителю математики путём соответствующего расчёта. Но будьте предельно внимательны! У меня получилось только с 3-го захода: я всё время терял какие-то слагаемые, во множестве выскакивающие при вычислении первообразной.   
P. S. В предисловии к сборнику задач, составитель говорит: «Конечно, я далёк от мысли, что все ответы правильны и буду признателен читателю, который найдёт ошибки и сообщит мне». Увы! Это уже невозможно – сэр Альфред Б. Пиппард скончался в 2008 на 88-м году жизни.
P. P. S. А всё-же жаль, что одним проводом, не разрезая его, не реализовать однородного магнитного поля! Очень жаль. …

* – часть книги оцифрована на сайте
http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/ECCE/PIPPARD.HTM   

[1] http://proza.ru/2022/05/12/1667 ("Магнитное поле Земли ... "),