Структуры единицы - деление неделимого

                Структуры единицы - деление неделимого

        «Вначале» Бог дал свет и первые 7 чисел натурального ряда – «всё остальное мы придумали сами». Для операции «сложения» мы придумали «ноль», как результат математической операции n – n = 0, для любого натурального числа n. «Ноль» – частей не имеет, потому что
                0 + 0 = 0.
        В операции «умножения» роль нуля выполняет «1» – единица. Для неё выполняется аналогичное соотношение
                1 * 1 = 1,
однако, имеется «зацепочка», потому что (-1) * (-1) = 1, то есть единицу, в отличие от нуля можно разложить на произведение двух одинаковых «сомножителей», отличных от «1». В свою очередь, очень даже неглупые люди, разложили «-1» ещё раз – на два одинаковых сомножителя
                i * i = -1,
 позволяющие разложить «1» на 2 неодинаковых множителя
                1 = i * (-i).
        Затем Леонард Эйлер предъявил человечеству бесконечно много мнимых единиц
                cos(pi/n) + i * sin(pi/n),
а в 1843 году Уильям Гамильтон представил "минус единицу" в виде произведения трёх мнимых единиц: i, j, k
                -1 = i * j * k,
образующих некоммутативную алгебру кватернионов, обладающую таблицей умножения единиц:               

1   i   j   k
i  -1   k  -j
j  -k  -1   i
k   j  -i  -1

        В том же самом году Артур Кэли опубликовал некоммутативную алгебру, обладающую семью мнимыми единицами.

1  i   j  k  l  m  n  o
i -1   k -j  m -l -o  n
j -k  -1  i  n  o -l -m
k  j  -i -1  o -n  m -l
l -m  -n -o -1  i  j  k
m l  -o  n -i -1 -k  j
n  o   l -m -j  k -1 -i
o -n   m  l -k -j  i -1
        Следующий шаг совершил «Ваш покорный слуга», которому удалось по двум этим таблицам «как по двум точкам осуществить рекурсию, т. е. нарисовать аналог прямой», элементами которой являются продолжающие одна другую алгебры, определяющие «таблицу умножения для «2 в степени n» различных, но совершенно равноправных единиц».
        Какое это имеет значение? Огромное, легализуя математические приемы деления объектов, относящихся к принципиально неделимым. Человечество сравнительно недавно научилось делить частицы, которые химики назвали атомами от греческого слова «неделимый». Оказалось, что неделимые атомы образуют структуры подобные планетарным системам. В свою очередь, неделимое ядро ещё как делится, разваливаясь на атомы меньшего веса…
        Однако теории деления неделимого в математике не появилось. Возникает надежда, что это положение можно изменить, потому что первые примеры деления неделимого удалось вывести из тьмы на свет.
         Деление единицы – это простейший математический прием, которым математика брезговала на протяжении столетий. Настало время покончить с этим варварством! Алгебраически новые объекты отличаются от арифметики всего только характером связи «умножения» с нулём:
 в арифметике                a*b – b*a = 0      (коммутативность)
 в алгебрах Гамильтона-Кэли         a*b + b*a = 0      (спиновость)
         Применительно к повседневной жизни физический термин «спиновость» можно интерпретировать в терминах «телефонного права»: «a и b поговорили о с», знак которого зависит от того, кто кому позвонил. Можно считать, что первый аргумент звонит второму аргументу, а знак при «с» оценка результата разговора. Иными словами, «деление неделимого» постоянно присутствует в общественной жизни человека, но человечество старается этого не замечать.
        Взять хотя бы проблему победы во второй мировой войне. Война закончилась – союзники разбежались: начали «Победу делить». Уинстон Черчилль решил: войну надо продолжать! Ответный ход сделал Иосиф Сталин – парад Победы с бросанием штандартов поверженной Германии к подножью Мавзолея. Гарри Трумэн с помощью СССР закончил войну с Японией, взорвал атомные бомбы и заставил СССР выйти из Ирана. Остальные страны довольствовались тем, что они все тоже боролись с фашизмом, который был ими побеждён, с помощью: США, России и Великобритании.
         Аналогичные проблемы возникают и в повседневной практике. Неделимый Президент, у которого имеются: Две палаты, Верховный суд, Госсовет, Следственный комитет, Армия… Сколько их должно быть, или это полнейший произвол? А что касается микромира. Какие идеи на этот счет имеются у математики, кроме того, что могли бы соблюдаться какие-то симметрии? Делением неделимого надо заниматься не от случая к случаю!
        Чтобы совершить первый шаг, надо получить из таблицы умножения единиц кватерниона таблицу умножения единиц чисел Кэли. Для этого, в первую очередь, надо обратить внимание на то, что, если в таблице Кэли стереть знаки, то она станет симметричной, а если: вместо 1 туда подставить {000}, вместо i - {001}, j - {010}, k - {011}, l - {100}, m - {101}, n - {110}, o - {111}, то получим таблицу
__________________________________
000 001 010 011 | 100 101 110 111
001 000 011 010 | 101 100 111 110
010 011 000 001 | 110 111 100 101
011 010 001 000 | 111 110 101 100
______________|_________________
100 101 110 111 | 000 001 010 011
101 100 111 110 | 001 000 011 010
110 111 100 101 | 010 011 000 001
111 110 101 100 | 011 010 001 000

 в которой для имен единичных векторов чисел Кэли  выполняется соотношение
                {x*y} = {x}XOR{y}
        Аналогично, таблица имен единичных векторов кватернионов тоже превратится в таблицу: логической связки XOR.
00 01 | 10 11
01 00 | 11 10
_____|_______
10 11 | 00 01
11 10 | 01 00

        Следовательно, в простейшем варианте векторного умножения все таблицы умножения единичных векторов должны иметь размерность «2 в степени n» на «2 в степени n» и олицетворять таблицу логической связки XOR.

                Проблема "знаков"

        Чтобы перейти от таблицы Уильяма Гамильтона к таблице Артура  Кэли формируем вспомогательную таблицу, в которую входит только часть таблицы Кэли.
1   i   j   k   l   m   n  o
i  -1   k  -j
j  -k  -1   i
k   j   -i  -1
l  -m -n  -o -1
m   l -o   n  -i  -1
n   o   l  -m -j   k  -1
o  -n   m  l  -k  -j   i  -1

        Отчётливо видно, что блок из первых четырёх столбцов состоит из двух блоков по 4 строки, из которых верхний совпадает с таблицей умножения Гамильтона.  Кроме этого, знаки в последних трёх столбцах блоков имеют в верней и нижней части противоположные значения, что позволяет сформулировать следующее правило заполнения следующей таблицы:
        первый шаг. знаки верхнего блока переносятся строго вниз с противоположными значениями.
        второй шаг. знаки верхнего блока, лежащие ниже главной диагонали, переносятся также вниз, но параллельно диагонали с противоположными значениями
        третий шаг. испорченные знаки первого столбца восстанавливаются, а знаки, лежащие выше диагонали, заполняются зеркальными отражениями нижних от диагонали (со сменой знака на противоположный).

        В заключение разберем подробно отладочный пример перехода от таблицы умножения комплексных единиц к таблице умножения единиц кватерниона:
      Исходный шаблон
0.      1  i  j  k 
         i -1
         j
         k
      XOR заполнение
1.      1  i  j  k 
         i -1
         j  k -1
         k  j  i -1
      Перенос знаков из верхнего блока вниз
2.      1  i  j  k 
         i -1
        -j -k -1
        -k +j  i -1
      Перенос знаков из верхнего блока вдоль диагонали вниз
3.     1  i  j  k 
         i -1
        -j -k -1
        -k +j -i -1
      Заполнение методом отражения в диагонали
4.      1  i  j  k 
         i -1  k -j
        -j -k -1  i
        -k +j -i -1
      Исправление первого столбца
5.      1  i  j  k 
         i -1  k -j
         j -k -1  i
         k +j -i -1
6.    Готово!