Сюрпризы закона Био - Савара

["Физические формулы записаны в системе единиц СИ,  Pi = 3.14159 - число "пи",
Математическая символика - как в языке Turbo Pascal: sqrt - квадратный корень, ** - возведение в степень.]


Нет учебника общей физики для студентов ВТУЗов, в котором не излагался бы закон Био - Савара - Лапласа*, определяющий величину напряжённости магнитного поля, создаваемого в произвольной точке пространства так называемым элементом тока:

http://elementy.ru/trefil/79/Zakon_BioSavara

. Как я понял, штудируя содержание ряда Интернет-сайтов, факультативно упоминается он и на уроках физики в некоторых средних школах, но мои студенты по крайней мере 2019 года утверждали, что до поступления в вуз никогда ничего о нём не слышали (сам я в школе давно не преподаю). Студентами же
(и это подтверждали в разговоре и другие преподаватели) закон воспринимается тяжеловато: и формула, выражающая его математически, -

                dH = (1 / 4 Pi)·[(i·dl); r] / |r|**3                (1)

(dH — вектор напряжённости магнитного поля, создаваемого элементом тока (определение понятия напряжённости магнитного поля м. б. найти у автора этих строк в [1]),
dl — вектор длины элемента тока,
i — сила тока в нём,
r в числителе (1) — радиус-вектор из центра элемента тока в точку наблюдения,
|r| в знаменателе (1) — модуль только что определённого вектора,
[p; q] — математический символ векторного произведения 2 векторов p и q)

, - записывается длиннее, чем, например, 2-й закон Ньютона, и с определением векторного произведения зачастую проблемы, и само понятие "элемент тока" требует определённого уровня абстрагирования. Такого уровня, что для разъяснения его (понятия элемента тока) была написана целая статья [2] - очень интересная и, по-видимому, не только для меня, так как после своего появления, она вызвала целую дискуссию в этом физическом журнале.
Читал я эту статью, рассказывал о ней учащимся - и заинтересовал одну второкурсницу материалом настолько, что она взяла её как тему реферата ... заняв с ним на конкурсе студенческих рефератов УГАТУ второе место. После этого меня там ОБЯЗАЛИ руководить написанием ею статьи по теме этого реферата. Статью, понятно, пришлось писать мне, она была опубликована в Октябрьском 2012 года номере "Молодежного вестника УГАТУ" (стр. 190 - 194), но и закончив всю эту мороку, думать над формулой (1) я не перестал.
Однажды (помнится, я вёл лабораторную работу в чисто девчачьей группе - девочки были сама усидчивость и это дало мне возможность какое-то время, сидя за преподавательским столом, сосредоточиться на своих мыслях) мне пришло в голову, что я не знаю следующего: пусть имеется проволочная прямоугольная рамка ОАВС, несущая ток i (от первой точки к четвертой движемся против часовой стрелки). Положим, ОА = ВС = a, АВ = СО = b и допустим, что a << b, скажем a = 10 см, b = 1000 км.

Существование такого проволочного прямоугольника вполне реально - воспетый Х.К. Андерсеном в сказке "Великий Морской Змей нашего времени"

http://skazkoved.ru/index.php?fid=3&sid=27&tid=1389

подводный телеграфный кабель через Атлантику, проложенный в середине XIX века, имел длину не 1000, а целых 5000 км (при толщине проволоки с = 1 мм, каковой величиной далее будем пренебрегать, считая провод ОАВС бесконечно тонким). Вопрос заключается в нахождении величины магнитного поля рамки, но не в произвольной точке пространства (это сложно), а в точке К, лежащей  в плоскости рамки, вблизи оси Ox и одновременно далеко справа от стороны рамки ОА (левый край рамки, отрезок ВС, на рисунке показать невозможно: он далеко-далеко слева). То есть, координаты x и z точки К удовлетворяют двум сильным неравенствам сразу: x >> z, x >> a (но, возможно, x << b!).

По принципу суперпозиции магнитного поля, напряжённость поля Н рамки АОBC в любой точке - это векторная сумма напряжённостей полей четырех её сторон по отдельности -
 
                H  =  H1 + H2 + H3 + H4,                (2а)

где слагаемые соответствуют слева направо полям сторон рамки OA, AB, BC, CO.
Соответственно, для модуля этого вектора,

                |H| = |H1 + H2 + H3 + H4|                (2в)

Напряжённость поля прямолинейного отрезка провода в физике известна - соответствующая формула получается интегрированием (1) "в лоб". Результат интегрирования можно найти во многих пособиях.
У меня под рукой книжка [3], откуда и выписываю:

                |H| = (i / 4 Pi)·(cos Ф1 - cos Ф2) / s                (3)

где s — расстояние от точки наблюдения до ближайшей точки отрезка по перпендикуляру, а Ф1 и Ф2 — углы между отрезком и направлением на точку наблюдения из дальнего и ближнего к ней краёв отрезка соответственно. Отрезок в (3) — произвольный и эту формулу можно раз за разом применять к рассматриваемой ситуации. На рисунке показан угол Ф2, соответствующий в (2в) полю Н4 стороны рамки СО, а расстояние s для точки К при этом равно модулю её z-координаты (угол же Ф1 не показан, чтобы не загромождать рисунок).

Первый неприятный сюрприз подстерегает решающего данную задачу, если он поместит точку К прямо на оси Ox рисунка: тогда Ф1 = Ф2 = 0, s = 0 и мы сталкиваемся с неопределённостью 0 / 0 в (3). Правда, раскрывается она одномоментно - так как при малых углах Ф << 1 радиан,

                cos Ф = 1 - (Ф ** 2) / 2,                (4)

то модуль вектора Н4 линейно зависит от s и равен нулю при s = 0. Конечно, то, что H1 = 0 - очевидный заранее результат, но проверить его необходимо! 

А вот поле Н2 в точке наблюдения К, когда она лежит на оси Ox, очевидно, нулю никак не равно - подставляя в (3) определение функции косинус как отношение прилежащего катета к гипотенузе и имея в виду, что для малых чисел e << 1,

                sqrt(1 + e) = 1 + e / 2

и                1 / (1 + e) = 1 - e,

тут-же можно прийти к формуле

                |H2| = (i·a / 8 Pi)·((1 / x)**2 - (1 / (x + b))**2),          (5)               

а направление вектора этого поля в К, согласно (1), противоположно оси Oy, показанной на рисунке общепризнанной символикой (кружок с крестиком внутри). Говоря словами, а не символами - ось Оу смотрит от нас, а вектор Н2 в точке К - к нам.
"Ну вот, - подумал я, выведя (5), - доброе начало полдела откачало". Теперь можно, используя тот-же метод, найти напряжённость поля в некоторых других удалённых от рамки точках пространства (здесь есть "белые пятна", не освещённые, насколько мне известно, в учебниках и задачниках). " ... Правда, есть ещё малые поправки от полей сторон рамки ОА и ВС, но ... надо ли их учитывать в условиях, когда длина стороны АВ в ДЕСЯТЬ МИЛЛИОНОВ раз больше длины стороны ОА?"
Не ограничиться ли приближением  H  ~  H2?

"Нет, - всё таки учесть их, - полЯ H1 и H3, надо! В конце концов, это несложно" - подумал я. Это действительно несложно: ведь x >> a и, значит, стороны рамки ОА и тем более ВС по отношению к точке наблюдения К являются элементами тока. Закон Био - Савара можно применять в этом случае "в лоб". Применяю и получаю:

             |H1 + H3| = (i·a / 4 Pi)·((1 / x)**2 - (1 / (x + b))**2).        (6)

Ничего себе малая поправка!! В 2 раза больше результата, который я, было, посчитал окончательным:

                |H1 + H3| = 2·|H2|   

А направлен вектор H1 + H3 - ОТ НАС. И, таким образом,

   |H| = |H1 + H2 + H3 + H4| = (i·a / 8 Pi)·((1 / x)**2 - (1 / (x + b))**2),  (7)

Результат (7) совпадает с (5), но ... векторы H2 и H противоположны!
А через некоторое время до меня дошло - увы, с запозданием, - что вектор Н в точке К В ПРИНЦИПЕ не может быть направлен к нам, то есть против оси Оу. И, стало быть, я изначально не имел право остановить расчёты на вычислении в точке К только поля Н2.

Дело тут вот в чём. В физике есть понятие - точечный магнитный диполь:

http://mathus.ru/phys/mdipole.pdf

Это - рамка с током с характерным размером намного меньшим расстояния R до точки наблюдения.
(На данном сайте использован термин просто "диполь" - это эквивалентно моему термину "точечный диполь". Не-точечный же диполь назван там "произвольным диполем".) В частности, если рамка квадратная, со стороной квадрата "a", то диполь может считаться точечным при a << R.
Если рисунок рамки OABC мы дополним множеством вертикальных отрезков Fj Gj, параллельных оси Oz (j - немой индекс, то есть целое положительное число, нумерующее вертикальные отрезки справа налево:

                0 < j < N,   где   N = b / a

- число вертикальных отрезков) отстоящих друг от друга на равное расстояние "а", начинающихся каждый на точках отрезка СО и заканчивающихся в точках отрезка АВ, то наша рамка превратится именно в набор N точечных магнитных диполей! 
В каждом из них ток циркулирует против часовой стрелки, а токи в вертикальных участках FjGj двух соседних квадратов компенсируют друг друга так, что остаются только токи в крайнем справа (j = 1) и крайнем слева (j = N) квадратах (стороны ОА и ВС рамки соответственно).

Количественно точечный магнитный диполь характеризуется вектором магнитного момента Pm,
о котором уже упоминалось в заметке [1] автора этих строк. В данном случае, модуль магнитного момента каждого квадратика Fj Gj Gj+1 Fj+1 равен просто

                |Pm| = i·(a**2).

Магнитные моменты всех квадратных рамок на рисунке одинаковы и направлены к нам. А поле точечного диполя известно - это формула (2) в [1]. Общая формула, впрочем, по большому счету, не нужна - достаточно знать, что точечный диполь, помещённый на плоскость Oxz и поляризованный по направлению "к нам", создаст поле, вектор напряжённости которого в любой точке этой плоскости направлен "от нас"! (т. е. вдоль оси Oy на рисунке.) Так как это верно для поля произвольного j-ого точечного диполя, то верно и для суммы всех их полей.

Разумеется, эти соображения можно подтвердить строгим расчётом, проинтегрировав поля отдельных рамок Fj Gj Gj+1 Fj+1 по х от |ОК| до |СК| и придя новым способом вновь к формуле (7), но это будет интересно уже совсем немногим. Я же просто хотел показать на данном примере студентам-физикам, как можно ошибиться в физике фактически, дав верный ответ чисто формально.

P. S.  Вектор напряжённости поля в точке М с координатами М(x, 0, a), как очевидно из соображений симметрии, совпадает с таковым в точке К(x, 0, 0). Интересен (и несложен) вопрос о величине вектора H в точке D(x, 0, a / 2): она оказалась такая-же, как в точке К.
Наконец, если мы уходим вдоль оси Ox так далеко, что наша координата x >> b, то (7) принимает вид

       |H| = (i·a / 8 Pi)·d((1 / x)**2),          (7a)

где "d", как обычно в математике означает дифференциал. Находя его через производную, получим
 
          |H| = (i·a·b/ 4 Pi)·((1 / x)**3),  (7b)

Но i·a·b - это магнитный момент всей рамки OABC и мы приходим к формуле (2) из [1] в частном случае перпендикулярности фигурирующих там векторов магнитного момента точечного диполя и радиус-вектора точки наблюдения. Так и должно быть a priori !
              2019, дополнено: июнь 2022


* - в заголовке третья фамилия не поместилась: особенность сайта.

[1] - на странице автора этих строк
http://proza.ru/2022/05/12/1667
("Магнитное поле земли. Гипотеза А. М. Шалаева").

[2] Charitat T., Graner F. "About the magnetic field of a finite wire" //
European Journal of Physics – 2003, volume 24, pages 267-270,
открыто для читателя по Интернет-адресу
http://graner.net/francois/publis/charitat_wire.pdf

[3] Антонов Л. И., Деденко Л. Г., Матвеев А. Н. "Методика решения задач по электричеству",
МГУ, 1982, стр. 77 www studmed ru