Как я нахожу действительные корни уравнения Ч. 1

Всегда перед тем, как искать корни любого уравнения теоретически, я делаю приближенные численные расчеты. Обычно строю график функции y=f(x) и нахожу визуально места пересечения кривой с осью ОХ. Приведу довольно непростой пример:
y=x^8-(3x-2)^4 (см. рисунок). Далее определяю производную  y'=8x^7-12(3x-2)^3  и составляю итерационную формулу Ньютона

x(n+1)=x(n)-y/y'

Программа расчета очень простая:

x1=0.55
for i= 1 to 10
x2=x1-(x1^8-(3*x1-2)^4)/(8*x1^7-12*(3*x1-2)^3)
print i,x1
x1=x2
next i

На рисунке видно, что мне удалось найти четыре точки пересечения кривой с осью абсцисс. Значит, действительных корней будет четыре. Остальные корни, естественно, комплексные. Результаты расчетов поместил рядом с кривыми. Корни оказались следующими:

x_1=1 ;
x_2=2 ;
x_3=-3.56155 ;
x_4=0.561553.

Если первые два корня точные (подстановка в исходное уравнение показала это), то третий и четвертый корни, очевидно, более сложные. Можно воспользоваться Вольфрамом Альфа и попытаться найти точные значения. Итак, вот что мне выдал этот замечательный продукт человеческой мысли:

x_3=-sqrt(17)/2-3/2 ;

x_4=sqrt(17)/2-3/2. 

Подстановка в исходник показала, что получили абсолютно верные корни.
Зная корни, легко найти полином четвертой степени и его разложение на множители:

z_1=(x^4-9x^2+12x-4)=
(x-1)(x-2)(x^2+3x-2)

На форуме попросили найти полином четвёртой степени, который даёт остальные четыре комплексных корня. Эту задачу довольно быстро решил:

z_2=x^4+9x^2-12x+4.

Полином решается методом Феррари, хоть и трудоёмко. Но в задачу это не входит.

27 мая 2022 г.