Очерк 34. Логика с Большой буквы

Небольшое, но важное, краткое отступление будет полезным в рассматриваемом  содержательном контексте. Терминология каждой области знания,в том числе и в содержательной логике, строится на основе понятийных связей профессиональных знаний. В  каждой науке терминология, как систематический набор терминов, таким образом, ограничивает и вербально закрепляет систему понятий той, или иной области знания. По выражению А.А. Реформатского, терминологии и «термины, как их составные части, являются инструментом, с помощью которого формируются научные теории, законы, принципы, положения», то есть «в терминах отражается содержательно организованная действительность, поэтому термины имеют научно обязательный характер. Изучением конкретных научно-терминологических систем занимаются учёные, эксперты в соответствующих науках. Общим изучением терминов и терминологических систем (безотносительно к некой конкретной науке), главным образом, с точки зрения лингвистической, занимается терминоведение (область прикладной лингвистики). Различаются терминологии, как естественно сложившиеся совокупности терминов определенных областей знания, или их фрагментов и терминосистемы — упорядоченные терминологии с зафиксированными отношениями между терминами, отражающими отношения между называемыми этими терминами понятиями. Основные термины, как свод терминологии — конкретной сферы знаний, издаются в виде терминологических справочников, или сборников.Нередко авторы приводят определение отдельных терминов в процессе изложения рассматриваемой проблематики.  Термин «эквивалентность (от позднелатинского equivalens – равноценный), - пишет в одноименной статье  «Философской энциклопедии» (1970)  Ю. Гастев, - наименование родовидовых всевозможных отношений типа равенства, то есть рефлексии (рефлексивность), симметрии (симметричность), транзита (транзитивность) – бинарных  (двойных, состоящих из двух частей) отношений. Примеры: эквивалентность (совпадение по смыслу, значению, содержанию, выразительным и, или дедуктивным возможностям) между понятиями, концепциями и научными теориями, или формализующими их формальными системами; конгуэнтность, или подобие в геометрии фигур; изоморфизм, равномощность множеств и другое. Эквивалентность каких – либо  объектов означает их равенство (тождество) в каком – либо отношении (например, изоморфные множества не различимы по своей  «структуре», если под структурой понимать совокупность тех её свойств, относительно которых эти множества изоморфны).  Всякое отношение эквивалентности порождает разбиение множества, на котором оно определено на попарно пересекающиеся классы эквивалентности. В  один класс относят при этом эквивалентные друг другу элементы данного множества. Рассмотрение классов эквивалентности в качестве новых объектов представляет собой один из основных способов порождения (введения)  абстрактных понятий в логико-математических  и вообще естественно – научных теориях.  Так, например, считая эквивалентными дроби a/b и  c/d  с  целыми  числителями и знаменателями, если ad = bc, вводят в рассмотрение рациональные числа, как классы эквивалентных   дробей; считая эквивалентными множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное  соответствие, вводят понятие мощности. Мощности – кардинального числа множеств, как класс эквивалентных между собой множеств.  Например, считая эквивалентными два куска вещества, вступающие в равных условиях в одинаковые химические реакции, приходят к  абстрактному понятию химического состава и т.п. Термин эквивалентность употребляют часто не только, как родовой, а как синоним некоторых его частных значений: «эквивалентность множеств» вместо  «равномощность» и др.  «Эквивалентность слов» в абстрактной алгебре вместо «тождество» и т.п.». [Гастев Ю. Эквивалентность. Философская энциклопедия в 5 томах. М., Издат.  «Советская энциклопедия»  под ред.  Ф.В. Константинова 1960 – 1970]. «Эквивалентность: от позднелатинского aequivalens — равноценный,  равно-значный, - пишет В.Г. Панов  в одноименной статье «Философского словаря» (1983) под главной редакцией Л.Ф. Ильичёва  и других, - отношение типа равенства, общее название для рефлексивных, симметричных и транзитивных отношений, таких например, как равночисленность, подобие, изоморфизм (гомоморфизм) и т.п. Отношение типа эквивалентности играют важную роль в формировании абстрактных понятий и в образовании предметных областей научных теорий.  Подробнее смотри: Абстракции принцип, Тождество, Универсум». [В.Г. Панов Эквивалентность.  Философский энциклопедический словарь. М., «Советская энциклопедия» Гл.  редакция  Л.Ф. Ильичёв,  П.Н. Федосеев, С.М. Ковалёв,  В.Г. Панов, 1983].  В показанной интерпретации, синонимами понятия эквивалентность, обычно называют отношения: равенства, равнозначности, равносильности и равноценности.Перечисленные значения термина эквивалентность указывает в статье «Эквивалентность, - своего справочника «Логический словарь» (1975) и Кондаков Н.И., - это наименование отношений типа равенства, т.е. рефлексивных (см. Рефлексивность), симметричных (см. Симметричность) и транзитивных (см. Транзитивность) бинарных отношений (См. Отношение). Например: конгруэнтность, или подобие геометрических фигур, изоморфизм, равномощность множеств. Эквивалентность каких-либо объектов означает их равенство (тождество), в каких-либо отношениях (например, изоморфные множества неразличимы по своей «структуре», если под «структурой» понимать совокупность тех их свойств, относительно которых эти множества изоморфны). Далее рассмотрим так же разъяснение термина "эквивалентность" профессора В.А. Успенского.«Математическим анализом (в кругу математиков – просто анализом), - пишет доктор физико – математических наук, профессор заведующий кафедрой математической логики и теории алгоритмов мехмата МГУ В.А. Успенский в статье «Нестандартный анализ» (1984),-  называется совокупность тех разделов математики, существо которых составляют методы дифференциальных и интегральных исчислений.  Но с недавних пор в публикациях стал мелькать  термин «нестандартный анализ». Объясняемые им  научные концепции позволили  сократить доказательство многих теорем и  оказались удобными для построения математических моделей физических явлений. В  основе нестандартного анализа лежит понятие гипердействительного числа. Рассмотрим раздел статьи, названный учёным «Несколько слов об эквивалентности».   «В  попытках объяснить, что такое число, вам не обойтись без такого важного математического понятия, как эквивалентность. Если искать для него русский синоним, то наиболее подходящим окажется, пожалуй, слово  «взаимозаменимость». Нетрудно указать несколько свойств отношения взаимозаменимость, оставаясь в кругу повседневных представлений. Во первых, каждый из них  взаимозаменим с самим собой – математики называют это свойство рефлективностью.  Во – вторых, если один предмет заменим другим, то и второй заменим первым. Это свойство – симметричность. В  - третьих, Если один предмет заменим вторым, а второй третьим, то  первый заменим и третьи. Это свойство – транзитивность. Если некоторое отношение, существующее в каком - то множестве предметов обладает всеми тремя, то математики называют это отношение эквивалентностью. Возьмём для примера отношение «быть однофамильцем», существующее среди людей. И один из создателей романа «Двенадцать стульев», и первооткрыватель электрической дуги, и композитор балета «Сотворение мира», и автор первого русского учебника шахматной игры - однофамильцы (все они Петровы). Каждый из них однофамилец по отношению к себе. Далее, если Евгений Петрович однофамилец Василия Владимировича, то и Василий Владимирович – однофамилец Евгения Петровича.  Наконец, если Евгений Петрович однофамилец Василия Владимировича, а тот однофамилец Андрея Павловича, то Евгений Петрович и Андрей Павлович тоже однофамильцы. Как видим, отношение быть однофамильцем в рассмотренном случае обладает всеми тремя случаями эквивалентности. Всеми тремя свойствами обладает и отношение начинаться на одну букву, существующее во множестве слов. А  вот отношение иметь хотя бы одну общую букву, определённое на том же словесном множестве, эквивалентностью уже не назовёшь.  В самом деле, слово кит имеет одну общую букву со словом кот, а слово кот со словом рог, однако у слова кит и рог – нет ни одной общей буквы. И  вот, что существенно: всякое отношение эквивалентности, на некотором множестве, разбивает это множество на непересекающиеся подмножества – так называемые классы эквивалентности. Отношение быть однофамильцем разбивает всех людей на подмножества однофамильцев.  Отношение слов начинаться на одну букву разбивает весь словарь на главы по буквам.  Овладев необходимыми  сведениями о классах эквивалентности, перейдём к вопросу о том, что такое число?  Но сначала заклянем на Казанский вокзал Москвы.  На его фасаде установлены не совсем обычные часы: на их циферблате проставлены знаки зодиака. Каждому часу соответствует свой знак зодиака и каждому знаку  - свой час. Важно то, что элементы обеих множеств могут быть поставлены во взаимно  однозначное соответствие. Недаром говорят, родился под знаком Стрельца, или Девы. Нетрудно проверить, что взаимооднозначное  соответствие обладаем всеми тремя признаками эквивалентности. А  это значит, что вся совокупность конечных множеств разбивается этим отношением на классы эквивалентности. Вот – примеры таких множеств: ног осьминога и белых пешек в шахматах, чёрных пешек и колонн большого театра, дней недели и нотной гаммы, цветов радуги и чудес света.  В  другом множестве материков и олимпийских колец, пальцев на одной руке.  Что же объединяет множества, попавшие в тот, или иной класс?   В  каждом из множеств содержится одинаковое число элементов.  Натуральные числа 0, 1, 2, 3… n представляют собой классы эквивалентности, на которые вся совокупность  конечных множеств разбивается отношением взаимно однозначного соответствия. Так число 12  представляет собой  класс эквивалентности, куда попало множество знаков зодиака. Число 8  класс, куда входит множество ног осьминога. Число  7 – класс, где оказалось множество дней недели, Число 5 – класс, в котором оказалось множество материков и так далее».  [В.А.  Успенский  Нестандартный анализ. Наука и жизнь № 1. 1984, стр. 45, 47-49].  Профессор В.А. Успенский в цитированной статье приводит и другие, возможные, числовые классы эквивалентности. Краткое представление термина "эквивалентность", очевидно, охватывает не все стороны его значений, но позволит ориентироваться в информации о его характеристиках.  Буду рад, если мои ожидания оправдаются в вашей практике.