В списки интересного... Выпуск 4

В списки интересного (особый "выпуск", "выпуск" о кристаллографии и о симметрии) :

- Интересны "вещицы" из кристаллографии. Первая интресная "вещица" из кристаллографии — это факт, что: Не существует кристаллов с осью симметрии 5-го порядка. Вообще, у кристаллов существуют поворотные оси симметрии только первого, второго, третьего, четвёртого и шестого порядков. Поэтому не бывает кристаллов в форме икосаэдра, в форме додекаэдра и в форме ряда полуправильных многогранников: усечённого икосаэдра, усечённого додекаэдра, икосододекаэдра и тэ дэ.

- Вторая интересная "вещица" из кристаллографии — это то, что в кристаллографии, например, 6^2=3. Это связано с обозначениями кристаллографии. 6 в основании степени означает поворот на угол 2"Пи"/6, показатель степени 2 означает, что таких поворотов сделано 2, 3 означает поворот на угол 2"Пи"/3. Всё вместе равенство означает, что результат у двух последовательных поворотов на 2"Пи"/6 такой же, как у одного поворота на 2"Пи"/3.

- Третья интересная "вещица" из кристаллографии — это способ подсчёта элементов симметрии. Например, элементы симметрии додекаэдра... У додекаэдра есть поворотные оси симметрии 5-го порядка. Каждая из этих осей симметрии пятого порядка проходит через центры двух противоположных граней-пятиугольников. Как их подсчитать? Граней 12, через центр каждой грани проходит упомянутая ось. Если не обращать внимания на то, что упомянутые оси так считаются по несколько раз, то упомянутых осей 12. Но каждая упомянутая ось проходит через ДВА центра граней, значит, мы каждую упомянутую ось сосчитали два раза. Следовательно, поворотных осей 5-го порядка у додекаэдра на самом деле 12/2=6. Дальше, у додекаэдра есть поворотные оси симметрии 3-го порядка. Каждая из них проходит через две противоположные вершины додекаэдра. Вершин у додекаэдра 20, значит, поворотных осей симметрии 3-го порядка у додекаэдра 20/2=10. Далее, у додекаэдра есть плоскости симметрии. Через каждую грань-пятиугольник проходит 5 плоскостей симметрии. Каждая плоскость симметрии додекаэдра проходит через 4 оси симметрии граней-пятиугольников, и того плоскостей симметрии 12*5/4=12/4*5=3*5=15. И тэ дэ.

- Четвёртая интересная "вещица" из кристаллографии: то, что все элементы симметрии тетраэдра можно получить из элементов симметрии куба. Если взять все элементы симметрии куба, а потом "стереть" некоторые из них, а у некоторых из них уменьшить вдвое их порядок, то получатся элементы симметрии тетраэдра. Это не очевидно, когда куб и тетраэдр стоят рядом друг с другом на своих горизонтально расположенных основаниях. Но это очевидно, если заметить, что часть диагоналей граней куба образуют собой "скелет" тетраэдра.

- Пятая интересная "вещица" из кристаллографии... Назовём классом симметрии многогранника совокупность всех элементов симметрии этого многогранника. Элементы симметрии многогранника — это, например, поворотная ось симметрии многогранника определённого порядка, центр симметрии многогранника, плоскость симметрии многогранника... Так вот... Каждому классу симметрии соответствует не один, а множество многогранников. В частности, куб и октаэдр имеют одинаковый класс симметрии, а также икосаэдр и додекаэдр имеют одинаковый класс симметрии. Но не только. Можно предъявить ещё многогранники с таким же классом симметрии, что и у куба и октаэдра. Можно предъявить ещё многогранники с таким же классом симметрии, что и у икосаэдра и додекаэдра. Можно предъявить и другие многогранники с таким же классом симметрии, что у тетраэдра. Как при помощи класса симметрии куба и октаэдра получить многогранник куб? Нужно взять элементы симметрии куба и октаэдра и разместить один квадрат в определённом положении относительно элементов симметрии куба и октаэдра. Потом надо этот квадрат повернуть относительно всех поворотных осей симметрии порядка n на углы 2*"Пи"*k/n, где k -целые числа от 1 до n-1; ещё надо отразить этот квадрат и все его образы, получившиеся в результате поворотов, во всех плоскостях симметрии и во всех центрах симметрии. Исходный квадрат и все его образы, получившиеся в результате поворотов и отражений, образуют собой куб. Для того, чтобы при помощи класса симметрии куба и октаэдра получить многогранник октаэдр, нужно сначала взять все элементы симметрии куба и октаэдра и расположить определённым образом относительно них не квадрат, а правильный треугольник, а потом так же, как в случае получения куба, поворачивать и отражать этот кусочек плоскости и его образы. Для того, чтобы при помощи класса симметрии куба и октаэдра получить другой многогранник с этим классом симметрии, нужно взять кусочек плоскости, ограниченной ломаной или взять 2 или больше таких кусочков плоскости и опять-таки поворачивать и отражать этот кусочек плоскости или эти кусочки плоскости и их образы. Так можно получить полуправильные многогранники ромбододекаэдр, усечённый куб, усечённый октаэдр, кубооктаэдр и тэ дэ, так можно получить звёздчатый ромбододекаэдр и, наверное, ещё какие-нибудь звёздчатые многогранники.

- Шестая "вещица" не совсем из кристаллографии, так как кристаллография не занимается додекаэдрами как многогранниками, имеющими поворотную ось симметрии 5-го порядка. Но это "вещица" о симметриях. Состоит эта "вещица" в том, что кроме класса симметрии додекаэдра существует такой класс симметрии, как неполная симметрия додекаэдра. Этот класс симметрии содержит поворотные оси симметрии, но не содержит плоскостей симметрии. Для того, чтобы получить многогранник с неполной симметрией додекаэдра, нужно взять додекаэдр и "наклеить" на его грани одинаковые "вертушки" (многогранники, у каждого из которых есть ровно одна поворотная ось пятого порядка и нет никаких других элементов симметрии). На каждую грань должна быть "наклеена" ровно одна "вертушка", и "наклеены" они должны быть в определённом смысле "симметрично". Как именно "симметрично" — интуитивно понятно. Из Википедии, вроде бы, следует, что также неполной симметрией додекаэдра обладают полуправильный многогранник плосконосый додекаэдр и двойственный ему многогранник. Может быть это и так.