Сложнейшая система - численно! Ч. 1

Пётр Земсков целый час потратил на решение системы, что на рисунке. Но все девять пар корней гораздо легче найти численно. Методом Монте Карло. Вообще-то возможности этого метода поистине безграничны. Например, работая по контракту в Аргентине, мне пришлось искать решение системы из двадцати двух существенно нелинейных уравнений. О теоретическом подходе не могло быть и речи. Вот и сейчас я хочу продемонстрировать простоту и надежность в битве с задачей Земскова. Во-первых, построил графики пересекающихся кривых. Кривая I - это первая строка системы. Кривая II - вторая строка. Точек пересечения двух кривых оказалось аж девять! Следовательно искать надо девять пар координат (x,y). По графику составил приблизительную. таблицу:
   
 0.60 2.17
 0.60  -2.17
-1.66  2.05
 1.66 -2.05
-1.95  0.40
 1.95 -0.40
-2.25 -2.43
 2.25  2.43

Здесь восемь точек, поскольку решение x=0 и y-0 видно невооруженным взглядом. В принципе задача приближенно уже решена. Но желательно вычислить координаты с точностью не менее девяти знаков после запятой. Для этой цели была составлена программа:

rem решение сложной системы
open #1,"sys.txt","r"
open #2,"sys0.txt","w"
for j=1 to 8
input #1 x0,y0
z=0.000001
s=10^10
for i=1 to 10000000
x=x0*(1+z*(ran()-.5))
y=y0*(1+z*(ran()-.5))
fx=abs(x^3-4*x-y)
fy=abs(y^3-5*y-x)
s1=fx+fy
if s1<s then
s=s1:x0=x:y0=y
xk=x:yk=y
fi
next i
print #2,xk,yk
next j

Получились такие решения:

 -0.59652855   2.17384173
  0.59652855  -2.17384173
 -1.66457392   2.04608371
  1.66457392  -2.04608371
 -1.94763962   0.40257690
  1.94763962  -0.40257690
 -2.25389601  -2.43431416
  2.25389601   2.43431416

Левая колонка - это иксы: правая - соответствующие игреки. То есть с большой точностью были получены корни системы. Программе потребовалось всего две минуты, чтобы выдать результаты. А это никак не час!
Удивило вот что: Земсков нашел решения в довольно несложных радикалах. В моем же случае получилось так: я в окошке Вольфрама Альфа набиваю число, скажем, 0.59652855 и столь умная система нужное радикальное тождество не выдает. Как-то странно все это! 


22 июня 2022 г.


Рецензии