Восемь пифагоровых треугольников

В 1969 году один из великих математиков двадцатого столетия Андрей Николаевич Колмогоров поведал мне об интересной головоломке украинского математика (лауреата Сталинской и Ленинской премий) Юрия Владимировича Линника. Текст её я досконально воспроизвёл в своём блокноте:

"Дано N любых неравных пифагоровых треугольников со сторонами x(i)<y(i)<z(i)<=401 , у каждого из которых периметр
P = x(i)+y(i)+z(i) = const.
Найти наибольшее количество таких треугольников N(max), одинаковый периметр Р, а также стороны всех треугольников."

К этой задаче приступал не один и не два раза, но только в прошлом году получил желанный результат. Он весь - на рисунке. Наибольшее число пифагоровых  треугольников N(max) оказалось восемь, а все размеры сторон отмечены на рисунке красными числами.
Конечно, пришлось применить метод полного перебора. Вот часть проги, что дала мне удивительно красивый результат. Интересно, что самое большое значение z оказалось как раз 401. Такое ощущение, что Линник знал решение! Но какое?! Вот это действительно вопрос вопросов. Задача датирована 1940 годом, когда ещё никаких ЭВМ в СССР не было.

Часть проги, которая привела к успеху:

n=401
for p=840 to 840
for x=1 to n
for y=x+1 to n+1
for z=y+1 to n+2
if x^2+y^2=z^2 then
if x+y+z=p then
print x,y,z,p
fi:fi
next z
next y
next x
next p

Рузультат:

40 399 401 840
56 390 394 840
105 360 375 840
120 350 370 840
140 336 364 840
168 315 357 840
210 280 350 840
240 252 348 840

 И вот что интересно. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности R=c/2, а радиус вписанной окружности r=(a+b-c)/2. Следовательно, найденные мной восемь решений инвариантны  2(r+2R). Что тоже довольно забавно.

26 июня 2022 г.