Подумаешь, бином Ньютона!

                Подумаешь, бином Ньютона!
        В память математика прочно врезается сцена из "Мастера и Маргариты":
        "— Ну, конечно, это не "сумма", — снисходительно сказал Воланд своему гостю, — хотя, впрочем, и она, собственно, вам не нужна. Вы когда умрете?
        Тут уж буфетчик возмутился.
        — Это никому не известно и никого не касается, — ответил он.
        — Ну да, неизвестно, — послышался все тот же дрянной голос из кабинета, — подумаешь, бином Ньютона".
        Непонятно только, что именно имел ввиду Коровьев, говоря о биноме Ньютона, потому что бином Ньютона — простейшее алгебраическое выражение, в которое умножение и сложение входят совершенно симметрично — на равных правах:
         (x + a)*(x + b)* ... *(x + c) = ...
        А что изменится, если мы вместо "x" подставим "1", вместо "a" подставим "i", вместо "b" подставим "j", вместо "c" подставим "k", вместо "+" подставим "-"?
         (1 - i)*(1 - j)*(1 - k) = (1 - i - j + i*j)*(1 - k) = 1 - i - j + i*j - k + i*k + j*k - i*j*k = -2(1 + j),
 потому что с 1843 года, согласно умножению сэра Уильяма Роуана Гамильтона, i*j = k, i*k = -j, j*k = i, i*j*k = -1.
        Это же совсем другой мир! И мы в нем тоже живём, хотя ничего не хотели бы знать об этом!
        Наши понятия о равноправии, симметриях ему присущих, а значит и о демократиях, — допотопны (Платон спьяну что-то набубнил, его приговорили к смерти, и до сих пор все довольны). Нельзя говорить о глобализме, понятия не имея о том, как им следует распоряжаться.
        Очень похоже на то, что не числа являются отмычкой к гиперкомплексным системам огромных размеров, а существенно более простые конструкции, известные как биномы Ньютона (основной операцией развитой экономики является не сложение, хотя оно чрезвычайно важно, а "умножение").
        Последовательность биномов (1 + i), (1’+ i’)*(1 + i), (1”+ i”)*(1’+ i’)*(1 + i), … в свою очередь предполагает, что мы намереваемся исследовать симметрии в абстрактных системах, где определены: коммутативная операция «сложения» и мультипликативная операция кулоновского типа, «притягивающая» или наоборот «расталкивающая» сомножители. В терминах экономики, одна операция бухгалтерски дотошная, но коммутативная, и другая, для которой бухгалтерские детали не важны, главное — приносит сделка прибыль или, наоборот требует затрат (как пример, биржевая игра, одно продал — другое купил). Получается, что для нас одновременно важны крайности: все слагаемые, а их: 2, 4, 8, … равноправны, тогда как бинарные произведения при перестановке меняют знак. Умножение таким образом реализует две операции: коммутативную — имя результата [{x}XOR{y}] и вторую операцию, которая антикоммутативна
                [{y}XOR{x}] = -[{x}XOR{y}]
- присвоение знака. Фигурные скобки переводят имя в двоичный код, логическая операция XOR формирует {двоичный код имени результата}, а квадратные скобки переводят этот двоичный код — в имя результата [{x}] = x.
        Объект, обладающий единицей «1» и мнимой единицей «i» известен как комплексные числа. Следующий бином Ньютона, обладающий четырьмя единицами      
(1’+i’)*(1+i) = 1’*1 + 1’*i +i’*1 + i’*i
известен как числа Гамильтона, являющиеся обобщением комплексных чисел.
        Следующий бином Ньютона
(1”+i”)*(1’+i’)*(1+i) = (1”+i”)* (1’*1 + 1’*i +i’*1 + i’*i)=
= 1”*1’*1 + 1”*1’*i +1”*i’*1 + i”*i’*i + i”*1’*1 + i”*1’*i + i”*i’*1 + i”*i’*i, состоит из восьми слагаемых, каждое из которых является произведением трёх единиц и является поэтому тоже единицей, реализуя числа Кэли. Действительно, подставляя их в первую строку и первый столбец таблицы 8 на 8 (см. рис.)

1”*1’*1  1”*1’*i  1”*i’*1  1”*i’*i  i”*1’*1  i”*1’*i  i”*i’*1  i”*i’*i
1”*1’*i        -1                1”*i’*1 
i”*i’*i                -1                -i”*i’*i
1”*i’*i                -1     i”*i’*i
i”*1’*1                -i”*i’*i       -1
i”*1’*i                i”*i’*i                -1
i”*i’*1  -i”*i’*i                -1
i”*i’*i                -1      

и, заменяя в ней: 1, 1’, 1” на «0» (соответственно: i, i’, i” на «1», мы получим в её клетках последовательно идущие двоичные числа от 0 до 7, следовательно, это заготовка для октониона, но, согласитесь, в формальных представлениях единиц в виде произведений меньшего числа примитивных единиц содержится больше информации, чем в голых числах от 0 до 7, или в буквах латинского алфавита от «i» до «o». «Тайна знаков» зашита в таблице, порождённой биномом Ньютона, осталось только в этом убедиться. Чтобы понять суть идей, лежащих в основе процедуры заполнения таблицы знаками, достаточно заполнить её диагонали
       Чисто формально перемножая (1”*1’*i) на (1”*1’*i), получаем
                (1”*1’*i)*(1”*1’*i) = (i)*(i) = -1
Аналогично, чисто формально перемножая (i”*i’*i) на (i”*i’*i), получаем
                o*o=(i”*i’*i)*(i”*i’*i),
переставляя в первых скобках первый и второй элемент, получаем
                (i”*i’*i)*(i”*i’*i) = -(i’*i”*i)*(i”*i’*i).
Затем, второй и третий – получаем
    (i’*i”*i)*(i”*i’*i) = - (i’*i*i”)*(i”*i’*i) = (i’*i)*(-1)*(i’*i).
И, наконец, переставляя сомножители в первой скобке, получаем
             (i’*i)*(i’*i) = -(i*i’)*(i’*i) = (i*i) = -1

        Рассмотрим этот же процесс на клетках другой диагонали той же самой таблицы умножения. Умножая (i”*i’*1) на (1”*1’*i), получаем
                (i”*i’*1)*(1”*1’*i)= (i”*i’*i),
 то есть то же самое выражение, которое уже стоит в правом верхнем углу таблицы (в общем случае там — знак плюс).
         Что имеется в виду под выражением: «в общем случае»? В общем случае мнимых единиц может быть больше трёх. Бином Ньютона разбивает произведения на классы сочетаний, содержащих одинаковое число единиц. Число сочетаний «по одной из n мнимых единиц, совпадает с числом сочетаний по n-1 из n мнимых единиц и они образуют взаимодополняющие пары, содержащие все мнимые единицы. Эти пары и заполняют клетки другой диагонали таблицы умножения единиц Кэли.
        Следующей клетке другой диагонали соответствует произведение
              (i”*1’*i)*(1”*i’*1) = (i”*i)*(i’) = -(i”*i’*i)
(в общем случае знаки на другой диагонали чередуются).
        Принцип присвоения знаков незатейлив, поэтому компьютер должен заниматься расстановкой знаков в общем случае, а человек — сортировать открывающиеся ему варианты гиперсимметрий.

        Теорема. Гиперкомплексные исчисления — суть биномы Ньютона.

        Современное понимание демократии укладывается в схему — "жизнь по правилам", но если мы уверены, что "Демократия" — это "имя существительное, а не прилагательное", то тогда должна существовать и "Теократия" и то, что у нас относится к категории "непостижимое", у Них Там будет всего только — "Подумаешь".