7. 2 Не-Эвклидова геометрия и мета-геометрия

                Является ли Не-Эвклидова геометрия мета-геометрией? 

                Из книги П.Д. Успенского «Ключ к загадкам мира»:

(стр. 51) Систему исследования «высшего пространства» Хинтон называет мета-геометрией, и он связывает с мета-геометрией имена Лобачевского, Гаусса и других исследователей Не-Эвклидовой геометрии.

Хинтон выводить свои идеи из Канта и Лобачевского. 

Другие наоборот противопоставляют идеи Канта идеям Лобачевского. Так у Роберто Бонола в «Неевклидовой Геометрии»  говорит, что воззрение Лобачевского на пространство противоположно Кантовскому. Он говорит:

«Учение Канта рассматривает пространство, как некоторую форму субъективного созерцания, необходимо предшествующую всякому опыту; учение Лобачевского, примыкающее скорее к сенсуализму (ощущения и восприятия – основная форма достоверного познания) и обычному эмпиризму (чувственное восприятие и опыт единственный источник познания), возвращает геометрию в область опытных наук.

Какой же взгляд правилен, и в каком отношении стоят идеи Лобачевского к нашей проблеме? Вернее всего, будет сказать: ни в каком отношении. Не-Эвклидова геометрия не есть мета-геометрия, и Не-Эвклидова геометрия стоит к мета-геометрии в таком же отношении, как Эвклидова геометрия.

Результаты всей Не-Эвклидовой геометрии, подвергшей переоценке основные аксиомы Эвклида, и нашедшей своё наиболее полное выражение в работах Больяи, Гаусса и Лобачевского выражается в формуле:

Аксиомы  данной геометрии   выражают свойства данного пространства.

Так геометрия на плоскости принимает все три аксиомы  Эвклида, то есть:

1 Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

2 Каждую фигуру можно переносить на другое место, не нарушая её свойства.

3 Параллельные линии не встречаются.

В геометрии на сфере или на вогнутой поверхности верны только две первых аксиомы, так как меридианы параллельные у экватора у полюсов уже встречаются. Причём в геометрии на сфере сумма трёх углов треугольник более двух прямых, а в геометрии на вогнутой поверхности – меньше двух прямых.

В геометрии на поверхности с неправильной кривизной верна только первая аксиома, вторая – о переносе фигур, уже не невозможна, так как  взятая в одном месте неправильной поверхности, может измениться при переносе на другое место. И сумма углов треугольника может быть и больше, и меньше двух прямых.

Таким образом, аксиомы выражают различие свойств различного рода поверхностей. Геометрическая аксиома, есть закон данной поверхности.

Но что такое поверхность?

Заслуга Лобачевского в том, что он находил необходимым пересмотреть основные понятия геометрии. Но он никогда не шёл так далеко, чтобы переоценивать эти понятия с точки зрения Канта. В то же время, он ни в каком случае не возражал против Канта. Поверхность в уме Лобачевского, как геометрия, была только средством обобщения некоторых свойств, в которых строилась та или другая геометрическая система, или обобщением свойств данных линий. О реальности или нереальности поверхности он, вероятно, совсем не думал. 

Не-Эвклидова геометрия, в том числе и геометрия Лобачевского, не имеет никакого отношения к мета-геометрии.

Лобачевский не выходит из сферы трёх измерений.

Мета-геометрия рассматривает сферу трёх измерений, как разрез высшего пространства. Из математиков ближе всех к этой идее стоял Риман, понимавший отношение времени к пространству».

Здесь следует также  упомянуть о  пространстве Минковского.

Пространство Минковского. Интернет: «Каждому событию соответствует точка пространства Минковского, в Лоренцевых (или Галлилеевых) координатах, три координаты, которой представляют собой декартовые координаты трёхмерного Евклидова пространства, а четвёртая – координата сt, где с – скорость света t – время события. Связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, характеризуется квадратом интервала:
S\2 = c\2(t1-t0)\2-(x1-x0)\2-(y1-y0)\2-(z1-z0)\2»
 

                Получается, что с помощью времени создаётся разделённость событий, то есть пространство? Будет ли разделённость событий, если будет только пространство? Дело в том, что для двухмерного пространства в роли времени будет движение по третьей координате; для одномерного – по второй координате; для точки – движение по первой координате.

                Почему все члены в квадрате? Что такое квадрат?  Квадрат это основа всего построения пространства. Имеем движение точки по линии, одной из сторон квадрата (одномерное пространство). В углах происходит возникновения двухмерного пространства, движение по другой стороне.  Из точки этого же угла происходит переход в трёхмерное пространство, через двухмерное пространство боковых сторон, для всех углов имеем куб (объём). Чтобы получить трёхмерное пространство нужно шесть двухмерных пространств. Как происходит переход в четырёхмерное пространство? Необходимо движение куба в направлении отличном от трёхмерного. Изменения в размерах самого куба? Изменения в меньшую сторону, тогда  имеем микромир? Изменение в большую сторону, тогда имеем макромир?  Так ли это? То есть к четырёхмерному миру, который  можем воспринимать человек, относятся  микромир и макромир. Воспринимать это значит ощущать (микромир) и видеть и ощущать макромир.

                Минковский математик, мир, описанный им можно считать идеальным. Так ли это?