Кубическая кривая и тригонометрия Ч. 1

На математическом форуме познакомился с приятной студенткой. Ей всего 18 лет и позарез требовалось найти действительные корни кубического уравнения

8x^3-54x-27=0

Не приложу ума: зачем таким молодым красоткам приходится искать какие-то корни? Но что же делать? Раз просили, значит нужно помочь. Я еще помню свои студенческие годы и быстро определил, что корни приведенного кубического уравнения вполне допустимо искать в тригонометрической форме. Но времени было в обрез и вникать в теорию  совсем не хотелось. Поэтому решил придумать свой подход к поиску истины.
Во-первых, начертил график кривой. Оказалось, что существуют три действительных корня. Приближенно: минус 2,3; минус 0,5 и плюс 2,8. Это уже хорошо! Не нужно возиться с комплексными вещами. Решил быстренько написать программу на языке Yabasic. Точнее две маленькие программки:

for k=-10 to 10
for n=0 to 20
for m=0 to 20
x=k*sin(n*pi/m)
if abs(8*x^3-54*x-27)<0.000001 then
print k,n,m,k*sin(n*pi/m)
fi
next m
next n
next k

Вторая прога - всё то же самое, только вместо синуса пишу косинус. Результаты расчетов приведены на рисунке в двух табличках. Жёлтые строки - как раз нужные результаты. Для косинуса (в самом низу рисунка) их и написал. То же самое легко было сделать и для синусов. После - подставил в кубический полином и получил строгие нули. Это и в самом деле они родные! На все исследование ушло времени не более 15 минут. С такой скоростью я еще никогда не получал решений!


13 июля 2022 г.