Сложный треугольник

Один опытный преподаватель геометрии предложил решить довольно непростую задачу:
https://www.youtube.com/watch?v=2J4gRA3O4Sc
Очень частный случай - угол B=100 град. Найти угол икс. Условие на рисунке. Сам препод думал над геометрическим решением ни много ни мало, а три дня! Это же с ума можно сойти! А если дадут такое на экзамене? Получается, что если данный ролик не просмотреть и не вызубрить, то и за час не справишься. Вот такое у нас образование.

Теперь расскажу, как и какую задачу нужно уметь решать. Итак дан треугольник ABC и задан угол B. Стороны AB и BC равны. Сторону BA продлили так до точки D, таким образом,что DB=AC. Вопрос мой более общего плана: Каким должен быть целочисленный угол B в градусах, чтобы и угол икс тоже оказался целочисленным.

В такой постановке нужно решать задачу уже в общем виде. Я потратил почти пять с половиной минут, чтобы используя теоремы синусов и косинусов получить и упростить формулу для икса. Но тут уж требуются твердейшие знания тригонометрии. Формула - на рисунке под треугольником. Составил быстро программу:

for B0=1 to 179
B=B0/180*pi
DC=sqrt(3-2*cos(B)+2*sin(B/2)-2*sin((3*B)/2))
x=180/pi*asin(sin(B)/DC)+0.0000000001
if abs(x-int(x))<0.000001 then
print B0,DC,x"
fi
next B0

и получил табличку, что на рисунке справа. Видно: целочисленные иксы окажутся при B=20,36,60 и 100 градусах. Я считаю, что только так (быстро и в самом общем виде) нужно учить решать даже сложные геометрические задачи! Тогда и молодую голову ломать не придется.

PS. Во второй части указанного ролика другой препод решал задачу как раз тригонометрическим способом. Но опять же - слишком частно, слишком мелко. Общую формулу так и не выразил. Его подход - топтание школьника-троечника. Даже заснуть можно от такого.


16 июля 2022 г.