Умножение

Натуральные, комплексные и т. д.
        Натуральные числа порождаются единицей: 1, 2 = 1+1, 3 = 2+1, а комплексные двумя единицами: традиционной и мнимой z = x + i*y. Но ведь это же можно продолжать: v = z + i'*w и Диксон стал это делать, но остановился. Что же могло его остановить? Сама эта идея ни на йоту не глупее той, на основании которой были созданы целые числа, я не понимаю, почему он остановился.
        Сделаем несколько шагов по лестнице Диксона. Шаг первый. Имеется пара единиц 1 и i. Имеется также таблица умножения единиц: 1*1 = 1, 1*i = i, i*1 = i, i*i = –1.
        Второй шаг. Дополнительно вводим ещё одну мнимую единицу i'. Выражение (x + i*y) + i'*(z + i*w) = x + i*y +i'*z + i'*i*w, свидетельствующее о том, что с точки зрения алгебры у нас увеличилось число мнимых единиц (стало ровно три), говорит о том, что мы на верном пути, потому что следующая за комплексной алгеброй гиперкомплексная система содержит именно три мнимые единицы: i, j = i', k = i'*i. Более того отчетливо видно, что на третьем шаге появится гиперкомплексная система, содержащая 7 мнимых единиц.
       Я предлагаю не совершать ошибки Диксона, который умудрился вместе с водой выплеснуть ребенка, а внимательно осмотреться. Мы столкнулись с проблемой отображения на бумагу (1, i) бинарного куба размерности n. У нас каждая вершина n-мерного бинарного куба – суть какая-то мнимая единица, за исключением одной, которая является натуральной единицей. Наша задача – составление таблицы умножения этих единиц. То, что при этом может получиться какая-то алгебра, нам наплевать с высокой колокольни. Сама по себе неожиданно возникшая комбинаторная задача теперь интересна.
        Итак, смотрим рисунок. У нас имеется трехмерный куб, мы его удвоили и собираемся эту процедуру повторить. У меня к Вам вопрос: в зеленом кубе два ребра пересекаются, они обозначены буквами "i" и "j"; их произведение – это третье зелёное ребро, выходящее из этой точки, как оно должно быть направлено: наружу (из куба) или наоборот. У сэра Гамильтона они все направлены внутрь (направлены на одну из точек куба) – вот, что создает алгебру кватернионов!
        Кстати, у октонионов – то же самое!
        Проблема отображения бинарного n-мерного куба на плоскость так, чтобы получилась таблица умножения, уже решена, недостаточно четко была освещена только проблема знака произведения единичных векторов. Принцип, которым руководствовался Гамильтон (все векторы должны быть направлены внутрь куба или, наоборот, все – наружу) позволяет завершить исследование проблемы "умножения векторов".
        Мы плохо представляем себе пространство, размерность которого выше 3. Кватериноны и октонионы в какой-то мере удовлетворяют наше любопытство, хотя и не исчерпывают его полностью. С целыми числами всё ясно - 1,2,3 и т.д., и наоборот 1, 3, (яркая вспышка) 7 ; а затем с 1843 года - вызывающе безысходный застой. Считается, что вариантов продолжения последовательности 1843 года много, тогда как по моему мнению, все предопределено столь же жестко как в случае с целыми числами, потому что конечным является конкретный продукт, известный как "таблица умножения мнимых единиц".
        Чтобы двигаться дальше, надо совершить над собой интеллектуальное насилие и далее считать, что i - это не корень из -1, а ещё один знак - "квадратный корень из знака -". Логика проста, согласно автору "Введения в метаматематику": "Кронекер заметил в 1886 году: «Бог создал целые числа, все остальное – творение человека»", - нам с вами не целесообразно портить то, что создал Господь Бог, поэтому имеет смысл полагать, что i это не квадратный корень из числа -1, которое придумал человек, а "квадратный корень из «минуса»", который, кстати, как и "квадратный корень", тоже придумал человек, и записывать вместо i, произведение 1*i. Благодаря этому соглашению, таблицу умножения комплексных единиц мы можем теперь, следуя Диксону, записать в виде

1      1*i
1*i     -1    =    (1*i)*(1*i)

        Вводя j - "другой корень из минуса", а в наши дни модно проводить рассуждения подобного рода, мы, следуя Диксону, можем записать промежуточную таблицу
___________________________________
1        1*i        1*(1*j)     (1*i)*(1*j)             |
1*i      -1      (1*i)*(1*j) (1*i)*(1*i)*(1*j)    |
1*j  (1*j)*(1*i)     -1                |
(i*j)                |
___________________________________|

        Из которой, ввиду неотъемлемых свойств 1: 1*x = x = x*1, следует, что в таблице умножения для двух разных корней из минуса мы имеем дело с тремя отчетливо различаемыми мнимыми единицами, обладающими собственной таблицей умножения.

1     i     j     k
i    -1     k    -j
j    -k    -1
k

        Обратите внимание. Даже из этой не до конца заполненной таблицы следует
        Лемма. Если два аргумента совпадают, имя результата -1; если не совпадают, то - это имя "третьей" мнимой единицы.
        В общем случае, когда разных "корней из минуса" больше 3, проблема решается столь же просто. Из этих корней создается каноническое бинарное имя (если в имени имеется "корень из минуса" - ставится 1, иначе, ставится 0), поэтому каноническое имя обычной "единицы" - 000...0, каноническое имя для "-1", соответственно, -000...0. В результате каноническая таблица кватерниона запишется в виде

00  01  10  11
01 -00  11 -10
10 -11 -00  01
11  10 -01 -00

то есть на пересечении строки и столбца таблицы помещается каноническое имя результата, полученное из имен аргументов при помощи связки XOR. Тут мы сталкиваемся с феноменом барана и новых ворот, потому что с этим можно и не соглашаться, заявляя, что это не доказано. На самом деле доказано, потому что ничего другого в природа нам не предоставила. Все, вводимые нами, мнимые единицы обладают равными правами, поэтому, умножая их по очереди на x, мы должны получить список всех мнимых имен отличающихся от x. Каждая единица осуществляет взаимно однозначное отображение множества мнимых единиц на себя, а из всех бинарных логических связок выполнить такое может только логическая связка XOR.
        Диксон разрабатывал свой подход для исследования процесса перехода от кватернионов к октонионам, а мы его применили на шаг раньше, поэтому теперь имеем право применить его для исследования общего случая. Итак, у нас уже имеется какая-то каноническая таблица умножения для нескольких "корней из минуса", например, для 3. И нам необходимо её расширить, потому что потребовалось добавить ещё один "корень из минуса". Обозначим его через «1*i'».
        Первый шаг. Ко всем именам имеющейся таблицы спереди приписываем "0" - первая половина алфавита для имен новой таблицы умножения мнимых единиц заполнена.
        Второй шаг. Продлеваем список имен теми же самыми именами, которые только что записали, заменяя в них самый первый "0" выражением "i'*1" или просто "1".
        Третий шаг. Осматриваемся. Имен в нашей таблице становится в раза больше, а ее поле распадается на 4 равные под-поля:
 в первом под-поле записываются выражения ((0*i')*x)*((0*i')*y);
 во втором под-поле записываются выражения ((0*i')*x)*((1*i')*y);
 в третьем под-поле записываются выражения ((1*i')*x)*((0*i')*y);
 в четвёртом под-поле записываются выражения ((1*i')*x)*((1*i')*y).
        Обращаем внимание на то, что выражению (0*i') соответствует "пустой множитель", который, в принципе, можно заменить единицей. В первом под-поле «корня из i'» нет ни у первого, ни у второго аргумента, а в четвертом он имеется у обоих, значит, при перемножении они дадут "-1". Срочно смотрим в подсказку - числа Кэлли. Все шесть имен под главной диагональю совпадают, тогда как знаки у них противоположны.
       Числа Кэлли для канонических имен
+000 +001 +010 +011   +100 +101 +110 +111
+001 -000 +011 -010   +101 -100 -111 +110
+010 -011 -000 +001   +110 +111 -100 -101
+011 +010 -001 -000   +111 -110 +101 -100

+100 -101 -110 -111   -000 +001 +010 +011
+101 +100 -111 +110   -001 -000 -011 +010
+110 +111 +100 -101   -010 +011 -000 -001
+111 -110 +101 +100   -011 -010 +001 -000

        Про вторую и третью подтаблицы Кэлли нам известно, что они антисимметричны относительно главной диагонали, но этого не видно из записи выражений, которые там находятся, потому что аргументы
 x и y не переставляются, переставляются только старшие разряды в записях имен. Значит, старшие разряды тоже отвечают за знаки в общем случае.
       Обращаем внимание на то, что в третьем поле  «корень из i'» сразу встает на своё место, но в случае, когда x = y, то есть когда x*y = -1, ((1*i')*x) не равен ((0*i')*х), следовательно, их произведение должно быть отлично от -1. (смотрим подсказку в октонионе), там стоит +100, значит, знаки в 3 подтаблице Кэлли меняются на противоположный не только на диагонали, но и ниже ее.
       После этого, нижняя часть третьей таблицы отражается от диагонали со сменой знака и, наконец вся третья подматрица Кэлли отражается от главной диагонали со сменой знака, заполняя знаками вторую подматрицу.
        Анализ перехода от кватернионов к октонионам говорит о том, что проанализированные ситуации, в которых используются константа i' и две переменные из 1 подтаблицы: x, y, - справедливы и в общем случае, а совпадение переменных (нижняя половина первой подтаблицы) влечет совпадение результатов (в данном случае знака). Жесткость перехода доказана.