Математика и музыка

      
         Сегодня трудно найти образованного человека, который не слышал бы о Пифагоре.  Пифагор Самосский (570–490 годы до н. э.) – древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской  школы пифагорейцев. Всем школьникам Пифагор известен по теореме его имени. В древности он также был известен как непобедимый в кулачных боях.
Источник: music-education.ru›…kakimi-uzami…pifagor-i-muzyka/
        Но далеко не все знают о том, что это был великий мудрец, который не только считался философом и математиком (тогда это называлось «геометром»), но он ещё сделал множество открытий в музыке. Со  времен Пифагора  наука о музыке входила в систему знаний, вместе с арифметикой, геометрией и астрономией.       
        Музыкальная наука началась с монохорда - первого музыкального инструмента Пифагора. Монохорд в переводе с древнегреческого означает «однострун».  Монохорд состоит из основания (иногда - резонаторного ящика), на котором между двумя порожками закреплена натянутая струна. Между порожками находится подвижная подставка (прижимающая струну снизу), перемещением которой фиксируют звучащую часть струны.
        Термин «монохорд»  сегодня применяется как родовое название музыкальных инструментов, имеющих в качестве источника звука единственную струну (например, однострунный  арабский ребАб,  индийский танпУра, вьетнамский дан-бау и т. д.).
        Со времён  эпохи шумеров были известны и многострунные музыкальные инструменты, но математический подход к изучению звуковой гармонии начался именно с Пифагора. Пифагор открыл законы музыкальной гармонии и свойства гармонических отношений между звуками, вывел понятие октавы и то, что её соотношение равно 2:1, он же открыл квинту и кварту.
        Красота и гармония ведут за собой творческую мысль, как в математике, так и в музыке. Хороший математик - это зачастую и  хороший музыкант.
        Академик Андрей  Николаевич Колмогоров (1903 – 1987), говоря об увлечении академика Анатолия Петровича Александрова (1903 – 1994) классической музыкой, констатировал: «… между математическим творчеством и настоящим интересом к музыке имеются … глубокие связи».
        Один из ведущих профессоров Московского государственного университета Георгий Евгеньевич Шилов (1917 - 1975) - автор всемирно известных монографий и учебников, доктор физико-математических наук - был не только знатоком и ценителем музыки, но и оставил заметный след в её теоретических исследованиях. Для широкого круга читателей им написана замечательная книжка - Шилов Г. Е. Простая гамма: устройство музыкальной шкалы. - М.: Наука, 1980. (Популярные лекции по математике ; вып. 37).
        Некоторые композиторы пришли в музыку прямо из математики,как,например, композитор Леонид Леонидович Сабанеев (1881–1968) – выпускник математического факультета Московского университета, который в 1905 году защитил диссертацию на степень доктора чистой математики. Он читал лекции на высших курсах университета в звании приват-доцента, а с 1918 года – профессора, и написал по математике аж четыре труда.
        Или более современный пример – композитор  Александр Наумович Колкер (родился в 1933 году),  закончивший в 1956 году факультет вычислительной техники в ЛЭТИ (Ленинградский электротехнический институт), прославившийся сначала как автор  музыки к нашумевшему в своё время кинофильму «Весна в ЛЭТИ». Он автор большого числа  известных песен, в том числе «Туман», «Карелия», «Стоят девчонки».       
        А вот примеров проявления интереса профессиональных музыкантов к математике не так уж много. За свою долгую жизнь я только один раз встретил профессионального композитора, серьёзно увлекающегося математикой. Это был ученик Дмитрия Дмитриевича Шостаковича (1906 – 1975) композитор Михаил Александрович Марутаев (1925 - 2010), с которым мне довелось не единожды встречаться на научных конференциях в Доме учёных имени Горького (на Неве) и в Центральном лектории общества «Знание» (на Литейном проспекте).  Он удивил меня весьма широкими познаниями по логарифмам и цепным дробям, по алгебре иррациональных величин. Марутаев  подарил мне интереснейшую книгу Ш. Шевелев, М. А. Марутаев, И. П. Шмелев. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии / И. – М.: Стройиздат, 1990.
        Случаев же пренебрежения математикой со стороны профессиональных композиторов предостаточно. Приведу лишь один красноречивый пример неосведомлённости музыканта даже в элементарной арифметике. Великий немецкий композитор Людвиг ван Бетховен (нем. Ludwig van Beethoven, 1770–1827)  не смог освоить даже основные арифметические операции. Умножение и деление были для него нераскрытой тайной. Например, чтобы умножить 12 на 60, гениальный композитор число 12 складывал 60 раз.
Источник:  Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. – Минск: Вышейшая школа, 1974.
       Но имеется великолепный случай, когда композитор удачно пренебрёг сложными математическими вычислениями. До эпохи Иоганна  Себастьяна  Баха (нем. Johann Sebastian Bach, 1685-1750) музыканты использовали разные музыкальные  строи, но все они не были совершенны. Некоторые  интервалы  звучали как диссонансы. Немецкий теоретик музыки,  органист,  композитор Андреас Веркмейстер (нем. Andreas Werckmeister; 1645 - 1706),  не отягощённый знаниями  логарифмов, уже описанных к тому времени шотландским математиком, богословом  и астрологом  Джоном  Непером  (англ. John Napier, 1550 - 1617), разработал  равномерно  темперированный музыкальный строй, в котором каждая октава просто делится на равные интервалы (на двенадцать  полутонов), При этом теоретические значения звуковых частот не достигались, но были удобоваримы для практики. Это вызывало среди теоретиков музыки многочисленные споры. Но созданный И.С.Бахом «Хорошо темперированный клавир (Das Wohltemperirte Clavier)», содержащий  прелюдии и фуги по всем тонам и полутонам, доказал жизненность идеи Веркмейстера. Такой строй господствует в европейской профессиональной музыке до наших дней. Важным преимуществом равномерной темперации является возможность транспонирования  музыкальной пьесы на произвольный интервал.
        Увлечение, как математикой, так и музыкой, обогащает духовный мир человека. Однако, можно утверждать, что математиков, преклоняющихся перед музыкой, значительно больше, чем музыкантов, интересующихся математикой.