Соотношение Гамильтона-Вотякова

                Соотношение Гамильтона-Вотякова
        Соотношение Гамильтона i*j*k = -1 легко обобщается на общий случай. Для примера возьмём числа Кэли:
1, i, j, k, l, m, n, o, обладающие бинарными именами:
1 = (000)
i = (001)
j = (010)
k = (011)
l = (100)
m = (101)
n = (110)
o = (111)  и XOR-таблицей умножения

+000 +001 +010 +011 +100 +101 +110 +111
+001 -000 +011 -010 -101 +100 -111 +110
+010 -011 -000 +001 -110 +111 +100 -101
+011 +010 -001 -000 -111 -110 +101 +100
+100 +101 +110 +111 -000 -001 -010 -011
+101 -100 -111 +110 +001 -000 -011 +010
+110 +111 -100 -101 +010 +011 -000 -001
+111 -110 +101 -100 +011 -010 +001 -000 (смотри рисунок)

        По именам, соотношение Гамильтона  i*j*k = -1 непосредственно вытекает из XOR-таблицы имён
(001)XOR(010)XOR(011) = (000).
        Но точно так же по одним только именам из той же XOR-таблицы имён вытекает его аналог m*n*o = l
(101)XOR(110)XOR(111) = (100). Эврика! Этим самым доказана
        Теорема 1. Если {M} - какой-то набор "нулей и единиц", то
                ({M}01)XOR({M}10)XOR({M}11) =({M}00).

Пример 1. Если {M} = 0
                ((001)XOR(010))XOR(011) = (011)XOR(011) = (000),
                (i*j)*k = k*k
                (001)XOR((010)XOR(011)) = (001)XOR(001) = (000)
                i*(j*k) = i*i
то есть (i*j)*k = i*(j*k) = -1 (умножение ассоциативно)

Пример 2. Если {M} = 1
                ((101)XOR(110))XOR(111) = (011)XOR(111) = (100),
                (m*n)*o = -k*o = -l
                (101)XOR((110)XOR(111)) = (101)XOR(001) = (100)
                m*(n*o) = m*-i = l
то есть (m*n)*o = -l, m*(n*o) = l (умножение не ассоциативно).

        В общем случае знак произведения m'*n'*o' = l' зависит не только от порядка сомножителей, но и от от расстановки скобок.

        Да, подобно Архимеду, выскочил нагишом и абсолютно голый заорал на всю Ивановскую... Каждый мог это сделать!

        Теорема 2. Каждый набор {M}, состоящий из "нулей и единиц", определяет октонион
1 = ({0}00)
i = ({0}01)
j - ({0}10)
k - ({0}11)
l = ({M}00)
m = ({M}01)
n = ({M}10)
o = ({M}11)  и таблицей умножения

  +{0}00  +{0}01  +{0}10   +{0}11 +{M}00 +{M}01 +{M}10 +{M}11
  +{0}01   -{0}00  +{0}11    -{0}10  -{M}01 +{M}00  -{M}11 +{M}10
  +{0}10   -{0}11   -{0}00   +{0}01  -{M}10 +{M}11 +{M}00  -{M}01
  +{0}11  +{0}10   -{0}01    -{0}00  -{M}11  -{M}10 +{M}01 +{M}00
+{M}00 +{M}01 +{M}10 +{M}11    -{0}00  -{0}01    -{0}10  -{0}11
+{M}01  -{M}00  -{M}11 +{M}10   +{0}01  -{0}00    -{0}11 +{0}10
+{M}10 +{M}11  -{M}00  -{M}01   +{0}10 +{0}11    -{0}00  -{0}01
+{M}11  -{M}10 +{M}01  -{M}00   +{0}11  -{0}10   +{0}01  -{0}00,

где {0}*{0} = {M}*{M} = -{0}, потому что оба сомножителя одинаковы; в свою очередь, {0}*{M} = -{M}*{0}, потому что сомножители разные, а это позволяет увидеть схему "переноса знаков из кватерниона" (смотри рисунок). Три нижние строки кватерниона переносятся вправо со сменой знака на противоположный, потому что в левой части стоит {0}x*{M}y, а в правой {M}*{0}z, аналогично, в половине, закрашенной зелёным цветом стоят {0}*{0}z, а в правой внизу на аналогичном месте стоит {M}*{M}z = -{0}z,  поэтому "зелёное"  переносится со сменой знака на противоположный вниз, где оно закрашено синим цветом. Отражение в диагонали завершает расстановку знаков.