О складывании листов, или полиграфическая беседа с

- Дай-ка мне, внучок, пару листочков, хочу файл на принтере распечатать: вон они лежат в коробке с надписью «Формат А4». Знаешь, что такое формат А4? Сейчас расскажу. Смотри, лист бумаги имеет прямоугольную форму, короткая сторона прямоугольника равна, навскидку, 20 сантиметров, длинная – приблизительно 28 сантиметров. Будем говорить: «Размер или формат листа 20х28».

Отношение длинной стороны к короткой 28:20=7/5. Ты уже изучал простые дроби, в десятичной форме 7/5=1,4. А теперь, внимание, фокус! Сложим лист пополам поперёк длинной стороны, вдоль короткой, получим два листа размером 14х20. Соотношение сторон 20:14=10/7 или опять примерно 1,4. Сложим ещё раз, получим листы размером 10х14. Соотношение сторон 14:10=7/5=1,4. Опять одна целая четыре десятых! То точно, то примерно. Магия. Можно увеличивать размер листа, приставляя к длинной стороне такой же лист, всегда соотношение сторон будет «примерно 1,4». Сам проверь.

С другими размерами листа этот фокус не проходит. Возьмём стандартную фотографию 9х12 с соотношением сторон листа 12:9=4/3=1,3333. Когда твоя мама пошла в школу, была такая популярная песенка. Разрежем её (не школу и не песенку – фотографию) пополам, получим лист 6х9. Опять мем – помнишь, в сериале про Жеглова был персонаж-фотограф с прозвищем «Гриша шесть-на-девять»? Получили листочек с соотношением сторон 9:6=3/2=1,5,  - далеко не 1,3.

- Кстати, у нас ведь было не точно 1,3, в дроби 4/3 после запятой шли бесконечно повторяющиеся тройки, про них говорят: «Три в периоде». У нас ещё появлялась дробь 10/7. У тебя есть калькулятор в смартфоне? Ну-ка, подели. Читаем ответ: «1,42857142857142». Последовательность, или комбинация цифр 428571 будет повторяться, как и тройка в дроби 4/3. Повторяющиеся последовательности после запятой в десятичной дроби являются признаком того, что это дробное число  получено в результате деления одного целого числа на другое, а значит, такое число может быть представлено в виде простой дроби, где числитель и знаменатель – целые числа. Такие числа называются рациональными.

В чём же магия числа «примерно 1,4», существует ли его точное значение? Давай разберёмся. Нам надо найти прямоугольник, у которого отношение длинной стороны к короткой равно отношению короткой стороны к половине длинной. Составим алгебраическое уравнение.

- Любишь алгебру?

- Нет.

- Сейчас полюбишь. Обозначим короткую сторону через Х, а длинную – через Y. По условию Y/X=X/(Y/2). По правилу работы с дробями уравнение можно записать в виде Y*Y=2*(X*X). Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Квадратный корень из исходного числа – это такое число, которое при умножении самого на себя даёт исходное число. Например, два умножить на два равно четырём, значит, квадратный корень из четырёх равен двум. Квадратный корень из произведения Y*Y равен Y, из X*X – равен Х. И у нас появляется замечательное число – квадратный корень из двух, обозначим это число как кв_корень(2). Мы нашли ответ:

Y=кв-корень(2)*X,

значит, магическое отношение равно квадратному корню из двух. Заметь, это решение – единственное.

В калькуляторах клавиша для извлечения квадратного корня обозначается галочкой с хвостиком вправо сверху. Есть у тебя в смартфоне такая клавиша? Ага, нет. Возьмём калькулятор помощней. Читаем ответ:

кв_корень(2)=1,4142135623730950488016887242097.

Больше тридцати знаков – и ни одной повторяющейся комбинации. Не беспокойся, суперкомпьютер выдаст тебе не только тридцать знаков после запятой, но и 30 тысяч знаков, и 30 миллионов знаков – повторов не будет. Нет такой простой дроби, которая точно была бы равна «корню из двух». А число есть! Это число – иррациональное, оно равно «примерно 1,4». Как ни округляй его дальше, точку на числовой оси не поставишь, она будет находиться или слева или справа от истинного значения.

- Помнишь, я тебе рассказывал про отношение длины окружности к её диаметру? На сколько равных частей ни разделяй окружность, диаметр точно из них не составишь. Это тоже иррациональное число, равно примерно 3,14. Я со школы помню слоган: «Три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть» - 3,1415926. Суперкомпьютеры нашли это число (его обычно обозначают греческой буквой «пи») с точностью до нескольких триллионов знаков после запятой, повторяющихся последовательностей не обнаружено. А, между тем, построить число «пи» геометрически очень просто: с помощью циркуля проводим окружность диаметром 1 см, накладываем на неё ниточку, пожалуйста, длина ниточки равна пи сантиметрам. Получить с помощью геометрических построений корень из двух ещё проще: проводим отрезок прямой линии длиной один сантиметр, к одному концу прикладываем такой же отрезок под прямым углом, расстояние между свободными концами отрезков равно корню из двух сантиметров! Теорема Пифагора, её ещё древние греки знали.

- Мы отвлеклись в теорию чисел, вернёмся к полиграфии. Что же всё-таки означает четвёрка в обозначении формата «А4»? Размер листа, который ты мне дал, и я заправил в принтер, имеет магическое соотношение сторон: длинная сторона относится к короткой, как корень из двух. Этот формат очень удобен, из большого листа путём разрезания пополам можно получать листы такого же формата, поэтому листы разных размеров легко паковать в одну коробку, а главное: при масштабировании изображения от одного формата к другому сохраняются пропорции изображения, я, например, часто использую это свойство при подготовке к печати текстовых файлов. Между прочим, не мы с тобой первыми увидели преимущества при использовании соотношения «корень из двух» для бумажных листов. Оно было отмечено ещё в 1768 году немецким учёным Георгом Лихтенбергом, поэтому называется «соотношение Лихтенберга».

Не будем забывать, что речь идёт о плоском листе, чем и объясняется фокус. Мера такого двумерного листа – площадь. Разные страны договорились (приняли стандарт), чтобы исходным, самым большим листом, обозначаемым как «формат А0», считать лист площадью 1 квадратный метр, это облегчает учёт использованной в полиграфии бумаги. Давай найдём размер листа формата А0. Площадь листа Y*X= кв_корень(2)*X*X=1 кв.м. Отсюда находим, что длина короткой стороны Х равна единице, делённой на корень квадратный из корня квадратного из двух. Сложно? Калькулятор легко выдаёт ответ: 0,8408964…, понятно, что без повторов последовательностей цифр. С точностью до миллиметра получаем: Х0=841 мм. Для длинной стороны находим Y0=1189 мм, то есть эта сторона листа больше одного метра.

Складываем лист формата А0 пополам (сгибаем длинную сторону), получаем лист формата А1, между прочим, основной формат плотной бумаги (ватмана) для конструкторских кульманов, складываем ещё раз, получаем лист формата А2, складываем… Правильно: складываем четыре раза, получаем любимый формат А4, лист, который я держу в руках.

- Возьми миллиметровую линейку, измерь его стороны.

- Длинная сторона равна 297 миллиметров.

- Да ты что?

- Короткая сторона – 210 миллиметров.

- Кто бы мог подумать!
Мы получили размеры листа формата А4: 210х297 мм, на листе формата А0 их размещается ровно 16 штук.

Международный стандарт А4 (его обозначают ISO 216) принят всеми странами, кроме США и Канады. Ну, так американцы – они ведь за…даваки: «Мы длину в метрах не меряем, нам дюймы подавай!» Соотношение Лихтенберга они используют, но длины сторон бумажных листов их полиграфической продукции немного отличаются от формата А4. Так у них и калибр артиллерийских снарядов не 152 мм, а 155. И так им и надо.


АЮ

11 сентября 2022 г.