1, 2, 4, 8 и тд

                Математика равноправия
        Математика начинается с арифметики, то есть с 0 и понятия следующий 0'. Согласно автору "Введения в метаматематику":
 "Это описание можно следующим образом разбить на несколько пунктов:
        1. 0 является натуральным числом. 2. Если n - натуральное число, то и n' - натуральное число. 3. Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, нет". Арифметика - это когда: "В одну шеренгу становись и по порядку рассчитайсь!", поэтому равноправие основано на существовании менее конкретных множеств, элементы которых обладают свойствами, олицетворяющими абстрактное равноправие. Порядка там, грубо говоря, ещё нет, однако элементы, чего-то похожего на порядок, все же имеются: 1. Каждый элемент этого множества обладает уникальным именем. 2. Любые два имени определяют третье имя. 3. Имеется конкретный пример первого множества, реализующего равноправие.
 1  i  j  k
 i -1  k -j
 j -k -1  i
 k  j -i -1
        Эта таблица определяет бинарную операцию *, в которую переменные i, j, k входят равноправно - произведение двух одинаковых множителей равно i*i = j*j = k*k = -1, а имя произведения разных множителей равно третьему (отсутствующему). Согласно таблице умножения i*j = k, следовательно, (i*j)*k = k*k = -1. Каждый столбец и каждая строка, отличные от первых, содержит по два элемента со знаком минус, а если исключить -1, стоящие только на диагонали, то один элемент со знаком плюс и один элемент со знаком минус.
        Иными словами, знак "плюс" в соотношении i*j = k навязывает знаки остальным элементам таблицы (в строке i должен стоять -j, в столбце j должен стоять -i и т.д.). Отчетливо видно, что таблица умножения мнимых единиц антисимметрична относительно диагонали. Можно говорить, что эти свойства таблицы умножения формально реализуют идею равноправия.
        Правый верхний угол занимает таблица умножения единиц комплексных чисел, там каждый столбец и каждая строка, отличные от первых, тоже содержит равное число положительных и отрицательных элементов, однако равноправием там и не пахнет. Следовательно, равноправие начинается с кватернионов. В свете этого умозаключения трудно не обратить внимания на то, что аналогичная ситуация возникала в Раю: Адам, Ева и Змей были равноправны и могли болтать всё, что угодно, но кроме них Там был Спикер, каждое слово которого обладало, если можно так выразиться, "законодательной мощью".
        Если мы обозначим 1 как (00), i как (01) j как (10), k как (11), то у нас получится таблица
 00  01  10  11
 01 -00  11 -10
 10 -11 -00  01
 11  10 -01 -00
 в которой, если рассматривать только имена, отчетливо просматривается логическая связка XOR, потому что x*y = x xor y, где x, y - двоичные имена переменных. В основе равноправия лежит логическая связка XOR, а сопроводительный знак "свидетельствует" о том, что ко всем симметриям, предоставляемым логической связкой XOR добавлено "зеркальное отражение таблицы от главной диагонали", формально выражаемое соотношением
                -(x*y) = y*x.
        Следующий объект был опубликован Артуром Кэли, обладающий таблицей умножения

+000  +001  +010  +011  +100  +101  +110  +111
+001   -000  +011   -010  +101   -100   -111  +110
+010   -011   -000  +001  +110  +111   -100   -101
+011  +010   -001   -000  +111   -110  +101   -100
+100   -101   -110   -111   -000  +001  +010  +011
+101  +100   -111  +110   -001   -000   -011  +010
+110  +111  +100   -101   -010  +011   -000   -001
+111   -110  +101  +100   -011   -010  +001   -000

 в которой тоже, если рассматривать имена, отчетливо просматривается не только логическая связка XOR, но и правила переноса знаков из таблицы кватерниона, заполняющей первую четверть таблицы умножения октониона, на третью и четвёртую четверти.

        Первую четверть таблицы умножения октониона занимает таблица умножения кватерниона (см. рис.). Третью четверть, расположенную прямо под первой, занимают выражения вида 1x*0y. Чтобы не плодить лишних определений, воспользуемся тем, что 1x можно выразить при помощи операции XOR
                1x = 10 xor 0x
после чего 1x xor 0y запишется в виде
                1x xor 0y = (10 xor 0x) xor 0y = 10 xor (0x xor 0y).
        Следует обратить внимание на то, что выражение 10 xor (0x xor 0y) "говорит", что сначала вычисляется имя результата и только после этого в старшем разряде имени 0 заменяется 1 (результат уже имеет вид готового ответа).
        Соответственно, 0x xor 1y - зеркальное отражение относительно главной диагонали, записывается в виде
                0x xor 1y = 0x xor (0y xor 10) = (0x xor 0y) xor 10.
Понятно, что имя у них одно и то же, тогда как знаки могут быть разными.
         Но в первом случае запись получается автоматически правильной, тогда как во втором с записью надо ещё что-то делать. Начнём, поэтому, с первого случая. А как там ведут себя знаки, просто подсмотрим, как с этой проблемой в своё время справился Артур Кэли.

 00 +0i +0j +0k
 0i -00 +0k -0j
 0j -0k -00 +0i
 0k +0j -0i -00
-10 -1i -1j -1k
-1i +10 -1k +1j
-1j +1k +10 -1i
-1k -1j +1i +10

        А он просто продублировал матрицу умножения кватерниона, изменив в ней все знаки на противоположные, то есть записал её с отрицательным первым аргументом, потом отразил её от главной диагонали, со сменой знака на противоположный, и наконец, восстановил положительные знаки в первом столбце.

00 +0i +0j +0k +10 +1i +1j +1k
0i -00 +0k -0j  +1i -10 -1k +1j
0j -0k -00 +0i  +1j +1k -10 -1i
0k +0j -0i -00  +1k -1j +1i -10
10 -1i -1j -1k 
1i +10 -1k +1j
1j +1k +10 -1i
1k -1j +1i +10
Осталось заполнить последнюю четверть.
        В четвертой четверти таблицы умножения располагаются выражения вида
                1x xor 1y = (1 xor 1) xor (x xor y) = -0 xor(x xor y),
иными словами, четвертая таблица умножения отличается от первой только знаком, однако полностью переносить таблицу умножения кватерниона в последнюю четверть большой таблицы не получится, потому что там должна находится антисимметричная таблица, а таблица умножения кватерниона не является полностью антисимметричной (мешают элементы первой строки и первого столбца - они не антисимметричны, у них у всех - знак "плюс"  (снова подсматриваем, как решил эту проблему Артур Кэли). В четвертую таблицу со знаком "минус" переносится только нижняя половина первой таблицы, включая диагональ, которую потом придётся подправить.

00 +0i +0j +0k +10 +1i +1j +1k
0i -00 +0k -0j  +1i -10 -1k +1j
0j -0k -00 +0i  +1j +1k -10 -1i
0k +0j -0i -00  +1k -1j +1i -10
10 -1i -1j -1k  -00
1i +10 -1k +1j  -0i +00
1j +1k +10 -1i  -0j +0k +00
1k -1j +1i +10  -0k -0j +0i +00

осталось только подправить главную диагональ и записать отражение от неё с противоположным знаком.
        Но теперь, когда нам известны правила перехода к следующему объекту математического равноправия, настало время, на этот раз пользуясь ставшими нам известными правилами, отправиться к самому началу! Первая матрица состоит из единицы
 1
Строим следующую
  1
 -i
отражаем от диагонали
  1 i 
 -i
исправляем первый столбец и записываем -1 в четвёртый угол матрицы умножения (восстановление главной диагонали).
 1  i
 i -1
 получилась таблица умножения комплексных чисел. Строим следующую
  00  0i
  0i -00
 -10 -1i
 -1i +10
отражаем от диагонали
  00  0i   10  1i
  0i -00 +1i -10
 -10 -1i
 -1i +10
исправляем первый столбец
  00  0i   10  1i
  0i -00 +1i -10
  10 -1i
  1i +10
 копируем нижнюю часть первой четверти таблицы в четвёртую четверть, включая главную диагональ со сменой знака на противоположный
  00  0i   10  1i
  0i -00 +1i -10
  10 -1i -00
  1i +10 -0i +00
 подправляем главную диагональ и отражаем в ней -0i
  00  0i   10  1i
  0i -00 +1i -10
  10 -1i -00 +0i
  1i +10 -0i -00
       Получили кватернион!
       А для математики - это результат столетия!


Рецензии