Бином Ньютона

На рисунке, правда, интерпретируется не квадрат
суммы, а разность двух квадратов: но,
я думаю, для всякого отсюда легко будет
понятна формула бинома -- нужно, чтобы
стороной квадрат S1 была а,
а стороной квадрата S2 была -- b


Бином был выведен, как полагают, Паскалем. Но только для целых чисел. Что касается Ньютона, то он обобщил формулу для любых рациональных чисел, а также доказал ее. Свое открытие Ньютон сделал на заседании Королевской Академии в 1676 году, хотя, как обнаружили исследователи, в основных чертах она фигурировала у него в записях за 1664 год, то есть когда он еще не был никаким ни сэром Исааком, а простым студентом. "Обобщил для любых рациональных чисел" -- значит следующее: то, что Паскаль выразил в числовых примерах, Ньютон одел в алгебраический гранит всеобщей формулы. Сам Ньютон не мог нахвалиться на свое детище:

"Как десятичные дроби обладают тем преимуществом, что выраженные в них обыкновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых чисел, так что с ними можно обращаться как с последними, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту пользу, что всякие сложные выражения можно с их помощью привести к бесконечному ряду дробей, при этом с небольшой затратой сил удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти непреодолимыми".

Своим открытием Ньютон оказал большую услугу вычислителям-практикам. Один из них, Джон Смит рассчитывал для практических целей таблицы квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и других функций для всех целых чисел от единицы до десяти тысяч. Раздавленный тяжестью вычислительной задачи, он просил у Ньютона помощи и совета. Ньютон послал ему объяснение биномиальной теоремы. Смит, понявший, что ему не нужно будет теперь извлекать сотни корней с точностью до десяти-одиннадцати знаков для каждого числа, был безмерно счастлив благодаря Ньютону и одновременно удручен: какой труд был помножен на 0 одним мановением ньютонова пальца.

ПРЕДЫСТОРИЯ БИНОМА

Бином вошел в наш обиходный язык стараниями подручных Воланда. "Когда придет моя смерть никому не известно и никого не касается" -- "Ну да, неизвестно, подумаешь, бином Ньютона!". На самом деле бином очень прост. Достаточно небольшого воображения и знания 4 правил арифметики, чтобы представить себе его для суммы квадратов, что наглядно демонстрирует приложенный к миниатюре рисунок (автор миниатюры, к сожалению, не нашел подходящего рисунка в сетях и вместе квадрата суммы проиллюстрировал квадрат разницы). Чуть посложнее обстоит дело с кубами, но и здесь поломав себе голову каждый легко поймет идею бинома.

Ну а записав в ряд формулы бинома для квадратов и кубов, путем аналогии легко вывести формулу для любых чисел. По крайней мере, для любого среднего человека со склонностью или с интересами к математическим упражнениям:

(a + b)1 = a + 0ab + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Поэтому удивительно не само открытие Ньютона, а то, что до него никто не додумался раньше. То обстоятельство, что многие простые вещи не открываются потому, что никому в голову не приходит их открывать, здесь не может играть роли или другими словами не может иметь место быть. Ибо бином имеет громадное практическое значение для самой низменной и расхожей повседневности.

Представьте у вас есть участок площадью в 1 гектар. У вас появились деньги, и вы хотите прирезать себе землицы. Допустим ваших денег хватит на дополнительные полгектара. Это же по сколько метров и с какого боку нужно прирезать землицы, чтобы уложиться в полгектара. Простой, но в данной ситуации весьма животрепещущий вопрос. И который без знания бинома Ньютона не решить.

И что же; имея дело с землей, а также со зданиями, где подобные приведенному примеру проблемы возникают ежедневно, люди умудрялись обходиться без бинома Ньютона? Да ничего подобного. Еще в XIII веке персидский астроном и математик ат-Туси приводит таблицу биноминальных коэффициентов (2ab, 3a2b, 3ab2 в приведенных нами формулах) вплоть до пятой степени. Что же, хочется спросить, он все это вычислял как незадачливый Джон Смит, обратившийся к Ньютону вручную? Сомнительно. Скорее всего, он знал эту формулу. Знал да не посчитал нужным обнародовать. Возможно, потому что не придавал ей значения.

Это так сказать, психологическое объяснение, высказывать по поводу которого дальнейшие соображения -- гадать на кофейной гуще.

А вот порассуждать о других возможных причинах умолчания небесполезно и увлекательно. Сегодня, мы привыкли к тому (хотя подобные времена, похоже, и проходят), что главным для ученого является сделать открытие и тут же сообщить о нем urbi et orbi. Из желания ли облагодетельствовать человечество, либо из желания застолбить свой приоритет. Но так было не всегда. Были времена, когда ученые хотели знать для себя, и извлекать из своих знаний выгоду. "Знаю как", а сообщить свои приемы -- значило потерять клиентуру, отдать постороннему человеку оружие, которым ты владеешь. Поэтому многие ученые держали свои открытия сугубо при себе.

Известен в истории пример, когда Кардано обнародовал способ решения кубических уравнений (частный случай бинома Ньютона), Тарталья вызвал его на поединок. Хотя Кардано отнюдь не присваивал себе чужого открытия, а честно и прямо говорил, что способ решения найден Тартальей. Чье имя стало нарицательным с тех пор стало в Италии: раз Тарталья, то значит, каналья, раз каналья, то значит Тарталья. А канальей он был потому, что тогда среди математиков проводились турниры по поводу решения многих задач: и кто знал способы, неизвестные другим, у того шансы на успех были выше. Кардано внес Тарталью своей публикацией в историю математики, но лишил бюджет того его значительной доходной части.

Да и сам Ньютон, открыв бином в 1664, опубликовал его только в 1676, оказавшись между двух огней: владения секретом, который помогал ему выгодно продавать свои расчеты астрономам, и риском лишиться славы первооткрывателя, ибо многие тогдашние математики (Виллис, Саккерри) уже вплотную подошли к выведению этой формулы.

Еще в силу одного обстоятельства ат-Туси мог пройти мимо открытия формулы бинома. А именно, в практике совсем не так уж важно найти квадрат или куб суммы двух чисел, сколько наоборот: найти способ разложить заданное число на несколько. То есть, возвращаясь к задаче о покупке земли: вам известен квадрат некоего числа -- это какую площадь вы хотели бы прикупить. И вам нужно найти ширину и длину этого участка, а может быть и двух и трех, из которых составить прикупаемую землю, то есть набор чисел, сумма которых при возведении в квадрат даст заданную величину.

Даже зная формулу бинома, задачу придется решать методом подбора. А если длина и ширина выражаются не целыми числами? а если подстановка чисел в формулы или даже умножение столбиком долгое время были человечеству незнакомыми процедурами? Проблема разложения становится задачкой не для среднего ума. Поэтому практичнее дать не формулу бинома, а наборы чисел, на которые с помощью бинома можно разложить данное. Нечто вроде логарифмической таблицы. Именно такую таблицу и составил ат-Туси, и, думается, составляли математики еще со времен египетских пирамид.

МИНИАТЮРЫ О НАУКЕ
http://proza.ru/2023/03/21/327