Фундаменталии математики и физики

Двадцать два года назад мы провозгласили Самаркандскую программу в области оснований математики и теоретической физики. Конечно, с тех пор возникло много вопросов. Естественно, сегодня вспомнить  и Эрлангенскую программу Ф. Клейна, которой исполнилось 150 лет.
В 1872 г. Феликс Клейн представил сенату Эрлангенского университета и философскому факультету этого университета своё «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», получившее название «Эрлангенской программы».
Влияние этой программы на дальнейшее развитие геометрии было исключительно велико. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить глубокие результаты, для старых инструментов крайне затруднительные или вовсе недостижимые.
Клейн рассматривает иерархию многообразий - пространств любого числа измерений и соответствующих геометрий, положив в основу их определения понятие инварианта (величины, остающейся неизменной при преобразовании), введённое в математику за двадцать лет да этого.
В элементарной геометрии преобразованиями, переходами от одних переменных к другим служат  движения, переносы, вращения геометрических фигур, когда сами фигуры, расстояния между образующими их точками не меняются.
Пространство, в котором происходят подобные переносы, называется метрическим, его инвариант - расстояние, определённое, например, теоремой Пифагора: вводятся прямоугольные координаты, разности между старыми и новыми координатами переносимой точки рассматриваются как катеты прямоугольного треугольника, расстоянием между новым и старым положением точек становится гипотенуза этого треугольника, её квадрат равен сумме квадратов разностей координат. Это - инвариант Эвклидовой геометрии.
В более сложных геометриях инвариантами служат иные выражения: в проективной геометрии инварианты - уже не расстояния между точками, не величина и форма геометрической фигуры, а только форма, - соотношения между расстояниями, треугольник при проективном преобразовании может стать меньше, но остаётся подобным себе.
Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с классами преобразований. Одна геометрия отличается от другой  тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.
Подход Клейна оказался применим к самым разным геометриям: многомерным, неевклидовым, неархимедовым и  т. д. В начале XX века Эмми Нётер, Эли Картан и другие математики разработали общую теорию представлений групп и теорию инвариантов. Эти исследования существенно обогатили геометрию и оказались применимы в физике. Герман Минковский в 1905 году включил в схему Клейна теорию относительности, показав, что с математической точки зрения она представляет собой теорию инвариантов группы Пуанкаре, действующей в четырёхмерном пространстве-времени. Аналогичный подход имеет место в теории элементарных частиц и квантовой теории. Если Э. Галуа предложил классифицировать алгебраические уравнения по их группам симметрии, то Ф. Клейн предложил взять идею симметрии в качестве единого принципа при построении различных геометрий.
Оказалось, что принцип симметрии служит основанием для объединения многих частей математики и физики. Программа Клейна как проблема нахождения различных групп симметрии превратилась в глобальную для всей науки.
Перейдём теперь к основаниям науки, называемым фундаменталиями. Разумеется, инварианты преобразований являются такими. Но хотелось бы, подобно Пифагору, начать с чисел. Натуральный ряд чисел: 1, 2, 3,…Самый начальный счёт. Самое первое движение к бесконечности. Если добавить операции сложения и умножения между натуральными  числами, получим как результаты натуральные числа, т.е. останемся в пределах множества натуральных чисел. Это множество счётно (можно посчитать число членов или поставить в соответствие с другим множеством натуральных чисел). Оно бесконечно. Обычно забывают добавить ещё одну операцию: операцию сравнения, упорядочения, взаимоотношения, выражаемую отношениями-операторами: «больше», «меньше», « равно». Вроде самые простые, очевидные понятия. Но в них заключаются самые большие трудности метафизического характера. Мы мечтаем о высших абстракциях в аксиомах, желательно весьма удалённых от текучей, изменяющейся неустойчивой реальности, стремимся найти устойчивые основания-фундаменталии, которые бы не менялись и, исходя из которых, могли бы построить точные науки. Но вот в самом начале не удаётся уйти от действия: операции, оператора. Не удаётся уйти и от упорядочения, от следования. А это прообраз времени, траектории. Всё это ещё где-то, и что-то может оказаться между ними. Понятие пространства. И вдруг замечаем, что само понятие одновременности имманенто, латентно «сидит» в самом простом логическом принципе соотнесения объектов. Мы пока не задаём ещё более фундаментального вопроса: а что такое объект вообще? А если введём понятия, модусы существования? Вдруг оказывается, что различные классы объектов и существуют по-разному. Математическое существование, например, решения уравнения, мы далеки отождествлять  с существованием, применяемым к физическим телам. А существование вероятностное? А вакуум, оказавшийся совсем не пустым? С самыми «простыми», изначальными абстрактными понятиями мы приходим к парадоксам. Что такое взаимодействие? Причастность, представление, отражение, подобие, прикосновение, перебор, «прохождение через», слияние, разделение, расщепление, уничтожение, - всё это модусы взаимодействия. Если механическое движение является перебором или прохождением точек непрерывной траектории, тут правы элеаты Парменид, Зенон: Ахиллес никогда не догонит черепаху, - в непрерывности движение такого рода невозможно вообще, поскольку между двумя пунктами траектории бесконечное число точек, на перебо которых понадобится бесконечно много времени (если время- то, что мы о нём полагаем). А если движение является скачками по дискретности, по квантам, вроде всё объясняется, но возникает вопрос: а что между дискретностями? Мы должны квантовать и время, и пространство. Это мы и называем в Самаркандской программе третичным квантованием.  А если мы пойдём дальше и рассмотрим нефизическое взаимодействие (даже в физике, в принципе Паули для фермионов есть подобное «дальнодействие», вступление в процесс знания наблюдателя)? Ведь не физические поля, не физическая, материальная субстанция, не энергия управляет нами: вам нечто сообщают, что вам не нужно куда-то ехать, - неважно на каком носителе в каких энергетических полях послано сообщение, управляет не энергия, и даже не информация как набор символов – управляет смысл, смысловое содержание информации – Знание. Познание и знание субъекта может управлять физическим взаимодействием! И оно управляет! А если оно абстрактное, математическое и представляет собой программу, переписываемую и запоминаемую на разных полях-носителях? А если оно создаёт, творит, трансформирует?
Сказали бы, что так легко скатиться к идеализму, причём и к объективному, и к субъективному. Но ранее мы видели, что сами-то абстракции связаны как-то с реальностью: разные операции, объекты, упорядочение, пространство, одновременность в определении логических понятий и т.п. Происхождение этих абстракций не чисто абстрактное. Для науки, в отличие от классической философии, соотношение материи и идеи, бытия и мышления остаётся довольно относительным. Другой срез: единое и многое. В «Пармениде» Платон показывает невозможность понять и охватить эту диалектику человеческим разумом.
Очень странно, что физика в результате утверждения квантовой теории в конечном счёте пришла к своему математическому основанию как к счётному конечному множеству целых чисел, которые составляют группу относительно операций сложения, вычитания и умножения, но отвергают операцию деления. Причём мы часто не обращаем внимания, что даже множество рациональных чисел образует группу относительно деления лишь с оговоркой – с потерей идентифицируемости члена множества, получаемого делением на ноль. Попросту говоря, начиная с рациональных чисел математические фундаменталии выводят нас за рамки физической реальности, за рамки вселенной. Как и насколько? Это и должно быть предметом исследования.  Непрерывные спектры, получаемые в решениях уравнений современной квантовой теории, на самом деле при проникновении в ещё более микроскопические масштабы, оказываются дискретными при третичном квантовании, при квантовании пространства-времени. Информация при этом также квантуется, превращаясь в информоны. Естественно, квантуется и знание, превращаясь в ноулиджоны.  Но это всего лишь физика. Математика может и должна предусмотреть другие возможности и сотворение принципиально иной реальности, может быть, даже непрерывной…