89-ая и 90-ая теоретико-числовые проблемы

О 89-ой и 90-ой теоретико-числовых проблемах.
Своим нестандартным поведением интервалы между двумя соседними простыми числами всегда привлекали и увлекали математиков. Если интервал равен 2, такие соседи называются числами близнецами. До сих пор считается недоказанным факт существования бесконечного числа близнецов. Правда, есть ещё единственная тройня: 3-5-7.  С ростом чисел значения обсуждаемых интервалов возрастают, но не настолько, чтобы сравниться с самими числами, к тому же редко встречаются, а  интервалы 2, 4, 6, …2к продолжают встречаться. Существует много неординарных гипотез о соотношениях, оценках подобных зависимостей. И здесь уместны довольно простые рассуждения и логические выводы. Например, совершенно ясно, что  величина интервала не может достигать удвоенного значения первого простого соседа, - в противном случае второй сосед делился бы на 3, следовательно, не был бы простым числом. Но такая оценка слишком груба, велика и очевидна. Поэтому нужны более реалистичные и утончённые оценки. И тут неожиданно могут помочь всякие игры, расклады и манипуляции с числами.
А это в свою очередь приводит к новым гипотезам и требует новых гениев. Наши 89-ая и 90-ая проблемы посвящены именно таким соотношениям.

On the 89th and 90th problems in Number Theory
Intervals between two consecutive prime numbers with their non-standard behavior have always attracted and fascinated mathematicians. If the interval is 2, such neighbors are called twin numbers. Until now, the fact of the existence of an infinite number of twins is unproven. However, there is only one triplets: 3-5-7. As the numbers grow, the values of the discussed intervals increase but not so much as to compare with the numbers themselves, moreover, they rarely occur, and the intervals 2, 4, 6, ... 2k continue to occur. There are many non-ordinary hypotheses about correlations, estimates of such dependencies. And here rather simple reasoning and logical conclusions are appropriate. For example, it is quite clear that the value of the interval cannot reach twice the value of the first prime neighbor - otherwise the second neighbor would be divisible by 3, and therefore would not be a prime number. But such an assessment is too rough, large and obvious. Therefore, more realistic and refined estimates are needed. And here all sorts of games, layouts and manipulations with numbers can unexpectedly help. And this in turn leads to new hypotheses and requires new geniuses.
Our 89th and 90th problems are devoted to just such relationships.