91-ая теоретико-числовая проблема

On the 91st problem in Number Theory

Intervals between two consecutive prime numbers with their non-standard behavior have always attracted and fascinated mathematicians. If the interval is 2, such neighbors are called twin numbers. Until now, the fact of the existence of an infinite number of twins is unproven. However, there is only one triplets: 3-5-7. As the numbers grow, the values of the discussed intervals increase but not so much as to compare with the numbers themselves, moreover, they rarely occur, and the intervals 2, 4, 6, ... 2k continue to occur. There are many non-ordinary hypotheses about correlations, estimates of such dependencies. And here rather simple reasoning and logical conclusions are appropriate. For example, it is quite clear that the value of the interval cannot reach twice the value of the first prime neighbor - otherwise the second neighbor would be divisible by 3, and therefore would not be a prime number. But such an assessment is too rough, large and obvious. Therefore, more realistic and refined estimates are needed. And here all sorts of games, layouts and manipulations with numbers can unexpectedly help. And this in turn leads to new hypotheses and requires new geniuses.
Our 91st problem is devoted to relations connected by simple quadratic functions.
Here we link to the classic work of D. Zagier. The first 50 million primes. - http://ega-math.narod.ru/Liv/Zagier.htm (in Russian).
It contains an encyclopedic presentation of many issues, in particular, the problem of "gaps" (abnormally large intervals) between consecutive primes.
D. Zagier in the mentioned work aptly and figuratively characterized the features of prime numbers: “There are two main facts about the distribution of prime numbers ... First: prime numbers, with their such a simple definition and with their role as bricks from which all natural numbers are built, are the most capricious and stubborn of all objects generally studied by mathematicians. They grow among natural numbers like weeds, seemingly obeying nothing but chance, and no one can predict where another prime will sprout, and, having seen a number, determine whether it is prime or not. Another fact is even more puzzling, since it consists in the exact opposite statement, namely: prime numbers show amazing regularity, they obey laws, and, moreover, with almost pedantic accuracy”.
D. Zagier on the problem of “gaps”: “Looking at the table of primes, one can notice that sometimes there are especially large intervals (for example, between 113 and 127) that do not contain primes at all. Let g(x) be the length of the largest interval between 1 and x that does not contain primes . For example, for x = 200, the longest of them is the interval just mentioned from 113 to 127, so g(200) = 14. The value of g(x) grows, of course, very unevenly... For the gap function g(x), see also:
R. Brent, The distribution of prime gaps in intervals up to ..., Review in Math. Comp. 28 (1974), 331;
Ribenboim's The New Book of Prime Number Records, third edition in 1996.
         Our approach, of course, is distinguished, as always, by “microscopicity” and the desire for a sophisticated and algorithmic study of “failures”, when local maxima “break out” of the channel of a seemingly already emerging pattern.


О 91-ой теоретико-числовой проблеме.
Своим нестандартным поведением интервалы между двумя соседними простыми числами всегда привлекали и увлекали математиков. Если интервал равен 2, такие соседи называются числами близнецами. До сих пор считается недоказанным факт существования бесконечного числа близнецов. Правда, есть ещё единственная тройня:
 3-5-7.  С ростом чисел значения обсуждаемых интервалов возрастают, но не настолько, чтобы сравниться с самими числами, к тому же редко встречаются, а  интервалы 2, 4, 6, …2к продолжают встречаться. Существует много неординарных гипотез о соотношениях, оценках подобных зависимостей. И здесь уместны довольно простые рассуждения и логические выводы. Например, совершенно ясно, что  величина интервала не может достигать удвоенного значения первого простого соседа, - в противном случае второй сосед делился бы на 3, следовательно, не был бы простым числом. Но такая оценка слишком груба, велика и очевидна. Поэтому нужны более реалистичные и утончённые оценки. И тут неожиданно могут помочь всякие игры, расклады и манипуляции с числами.
А это в свою очередь приводит к новым гипотезам и требует новых гениев. Наша 91-ая проблема посвящена  соотношениям, связанным простыми квадратичными функциями.
      Здесь мы дадим ссылку на классическую работу Дона Цагира:
Дон Цагир. Первые 50 миллионов простых чисел. - http://ega-math.narod.ru/Liv/Zagier.htm
В ней есть  энциклопедическое изложение многих вопросов, в частности, проблемы «провалов» (аномально больших интервалов ) между соседними простыми числами.
Д. Цагир в упомянутой работе метко и образно охарактеризовал особенности простых чисел: «Имеются два главных факта о распределении простых чисел... Первый: простые числа, при своём таком простом определении и при своей роли кирпичиков, из которых строятся все натуральные числа , являются самыми капризными и упрямыми из всех объектов, вообще изучаемых математиками. Они растут среди натуральных чисел как сорная трава, не подчиняясь, кажется, ничему, кроме случая, и никто не может предсказать, где взойдет ещё одно простое, а, увидев число, – определить, простое оно или нет. Другой факт озадачивает ещё больше, так как он состоит в прямо противоположном утверждении, а именно: простые числа демонстрируют удивительную регулярность, они подчиняются законам, и притом с почти педантичной точностью».
Д. Цагир  о проблеме «провалов»: «Рассматривая таблицу простых чисел, можно заметить, что иногда встречаются особенно большие интервалы (например, между 113 и 127), совсем не содержащие простых. Пусть g(x) – длина наибольшего из интервалов между 1 и x, не содержащих простых чисел . Например, для x = 200 самым длинным из них является только что упомянутый интервал от 113 до 127, так что g(200) = 14. Величина g(x) растёт, разумеется, очень неравномерно...
О функции «провалов» g(x)  также см.:
R.Brent, The distribution of prime gaps in intervals up to ..., Review in Math. Comp. 28 (1974), 331.
В 1988 г. вышла «Книга рекордов в области простых чисел» Рибенбойма ( «The New Book of Prime Number Records»,третье издание в 1996 году).
         Наш подход, конечно, отличается, как всегда, «микроскопичностью» и стремлением к утончённому и алгоритмическому исследованию «провалов», когда локальные максимумы «вырываются» за русло, казалось бы, уже наметившейся закономерности.