Задача из Кенгуру

Она очень частная и предполагалось, что решение должно быть чисто геометрическое. Я решил с ней расправиться тригонометрически и в общем виде. Мало того - решил найти все целочисленные решения.
Смысл таков. Имеем квадрат ABCD, площадь которого S. Чертим квадрат AEFK и получаем треугольник BEF, площадь которого известна и равна f. Нужно определить другие параметры структуры. Я задался целью найти все варианты, в которых угол "x" в градусах, а также площади S и f - целочисленные. Думаю, в такой постановке 999 конгурёнков из 1000 запросто сломаются.
Поступил следующим образом. Принял декартовую систему, нашел координаты вершин всех трех элементов и определил через них площади. Получил компактную и очень красивую формулу для угла "х". Потом составил прогу, текст которой ниже, и определил два случая, решающие поставленную задачу. В принципе, как и ожидал, только в двух случаях наблюдается целочисленность - когда отношение S/(2f) равно либо единице, либо трем. Тогда "x" равен либо 45 град., либо 30. Таково свойство арктангенса. В таблице привел несколько примеров из бесконечного числа. Здесь "а" - сторона квадрата ABCD.
Совершенно ясно: теперь можно найти какие-либо другие параметры задачи. Например, площадь квадрата AEFK. На основе выявленных табличных данных это уже легко сделает и круглый троечник.
Так, забыл дать текст программы

rem Решение задачи из "Кенгуру"
print "   f       S   a   x  s/(2f)"
for a= 2 to 18
s=a^2
for f=1 to s
x=180/pi*atan(sqrt(2*f/s))+10^(-11)
if abs(x-int(x))<0.00000001 then
print "f,s,a,x,s/(2*f)"
fi
next f
next a

Результат - на рисунке.

Меня часто спрашивают: зачем я привожу нудные тексты программ?
Отвечаю. На компьютерах работаю аж с 1982 года. За 40 лет сменилось более десятка разных моделей. Одни устаревали безбожно, другие банально ломались. И часто терялись программы. Это было самым неприятным моментом. И сейчас до сих пор не уверен, что жесткий диск может хоть через минуту грохнуться. Опыт подсказал - обязательно нужно важные разработки сохранять либо в инете, либо на внешних носителях. Чем я в прозе ру и занимаюсь.

7 ноября 2022 г.