Основания относительности

                Основания относительности.
        Сложилось мнение, что основанием всего является математика, но это вроде бы не так. Во времена Сократа математики ещё не было, однако рассуждать уже умели. Люди знали счёт, ремёсла, умели землю измерять, однако Евклид ещё не родился. Грубо говоря, математика начинается с аксиомы индукции - распространении какого-то свойства на области, где никто никогда не бывал. Скажем, на Америку, которая грекам была неизвестна. Желание знать неизвестное неистребимо, а достигается это "знание" наложением "естественных ограничений" на то, что неизвестно в принципе. Основной вопрос предельно прост: а насколько естественны "естественные ограничения"?
        Что касается чисел, то хочешь не хочешь, а приходится признавать, что главным элементом тут является способность рассуждать. В "Части первой. Проблемы оснований математики" Стефен Коул Клини - автор "Введения в Метаматематику" связывает своё рассуждение со способностью уверенно "распознавать образы": «Стадо из четырёх овец и роща из четырёх деревьев находятся между собой в таком отношении, в каком ни одно из них не находится с кучей из трёх камней или рощей из семи деревьев. Хотя для печатного выражения этого труизма мы использовали слова, обозначающие числа, отношение, о котором идёт речь, само лежит в основе понятия кардинального числа».
        Основная мысль ясна. Вот я сейчас для Вас рассуждаю, но куда бы Вы ни приехали, где бы не оказались, эти рассуждения можно повторить, значит, то что мы здесь сейчас выясним, Вы выясните и там, следовательно то, что я вам сейчас говорю, несомненно - истина в последней инстанции. И получается, что переход к бесконечности - самое простое, что можно себе придумать:
       «1. 0 является натуральным числом. 2. Если n - натуральное число, то и n' - натуральное число. 3. Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, нет». Это не так, это плохо.
        Математикам, боюсь, этого не объяснить, поэтому возьму пример из физики. Исаак Ньютон открыл закон инерции: «Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние». Короче говоря, движущееся по инерции тело преодолеет любое расстояние, о котором можно только помыслить! В свою очередь Альберт Эйнштейн открыл принцип относительности (цитата из Интернета): «специальная теория относительности базируется на двух постулатах:
 1. Все физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения.
 2. Скорость света в вакууме, измеренная в любой инерциальной системе отсчёта, одна и та же и не зависит от движения излучателя».
       Странная история, все процессы протекают одинаково, за исключением света, который движется ещё более одинаково, чем все остальные. Одномерное пространство Альберта Эйнштейна, основанное на преобразованиях Лоренца, математически отличается от одномерного пространства Исаака Ньютона, значит, надо искать ответ на вопрос: почему, искать причину... Альберт Эйнштейн причину нашел - более глубокое понимание относительности движения... Но доказал ли он это? - А это уже вопрос, достойный внимательного исследования.
       Физики считают, что доказал. Но я не могу рассуждать как физик, потому что не понимаю их логики. Отправляясь от реальности, которую они знают, к исследованию мелочей, которых они не знают, физики каждый раз открывают, что мелочь, которой они занимались, вовсе даже не мелочь, а фундаментальное знание, о существовании которого никто даже не догадывался (за это им выдают Нобелевские премии). Получается, что отправляясь, как показывает опыт предыдущих поколений, от лжи, они открывают Истину! Я в такие игры не играю и мне с физиками не по пути. Сформулировал постулаты - так работай с ними до конца, не меняй их по дороге!
        Математика не на одни только рассуждения опирается. Геометрии, например, нужны чертежи, алгебре - записи на бумаге, короче говоря, математика в каком-то смысле является следствием физики твёрдого тела. Первый случай, когда это не так, предоставляет нам теория относительности, изучающая пустое пространство. В теории относительности приходится пользоваться новым инструментом, который Альберт Эйнштейн обозначил как "мысленный эксперимент". Я не собираюсь ему тут петь дифирамбы, скорее наоборот, по моему - это главное, что он сделал, потому что рассуждать он не умел и не учился.
        Итак, первый мысленный эксперимент. Одномерное пространство, элементами которого являются не числа, а материальные точки, удовлетворяющие аксиомам Пеано: n' движется относительно n со скоростью 1 метр в секунду. Через бесконечное время все точки остановятся и, согласно постулата 1, расстояния между ними будут одинаковыми. Действительно, они всё время были одинаковыми значит должны быть одинаковыми и на бесконечности. Вывод вас не настораживает?
        Не будем на этом останавливаться, продолжим рассуждения. Пространство Эйнштейна должно хоть чем-то отличаться от пространства Ньютона? Должно! У Ньютона покой абсолютен, а у Эйнштейна движение по инерции не отличается от покоя, поэтому - покой относителен. Почему у Ньютона покой абсолютен? Да потому, что покоящиеся точки не выскальзывают из него, они жёстко привязаны к пространству, позволяя его исследовать координатными методами Декарта (точно так же, можно считать, что покоящиеся точки, наоборот, привязывают к себе неуловимое пространство - вот почему покой абсолютен, Ньютон был последователен и тщательно продумывал свои законы). Если, следуя Эйнштейну, позволить не покоящейся точке ускользать на бесконечность, то они там окажутся все! Значит, в пространстве останутся только покоящиеся точки, но при таком варианте поведения материальных точек, хочешь не хочешь, покой - абсолютен! Вывод: Вы только что прочитали рассуждение, которого не сделал Альберт Эйнштейн, но которое он был обязан опубликовать! В пространстве, где выполняется первый постулат теории относительности, свободно движущаяся точка даже за бесконечное время может преодолеть только конечный путь.

        Чуть-чуть забегая вперёд, сообщу, что это то самое пространство, в котором быстроногий Ахиллес не может догнать Черепаху. И это обстоятельство заставляет меня подозревать, что Альберт Эйнштейн почерпнул первичные сведения об относительности движения, когда работал в патентном бюро, из какого-то древнего документа, который смогла прочесть его супруга, владевшая, подобно Тесла, сербским языком. Короче говоря, Альберт Эйнштейн узнал о важности относительности движения через поток слов (на уровне слов), а когда узнал про преобразования Лоренца, стал искать подходящую формулировку (на уровне слов) и нашёл "политическое" решение проблемы: формулировку закона Ньютона сохранил, но к ней немножко кой-чего добавил.

        Итак, у нас имеются три кита, на которых покоится Вселенная Лоренца: преобразования Лоренца, наделяющего материальные точки ограниченным законом сложения скоростей; постулата относительности, навязывающего свободному движению явно не сформулированное свойство: проходить за бесконечное время не бесконечный  путь.
        На практике, а каждый из нас неоднократно видел, что свободно движущееся тело, спустя какое-то время, обязательно останавливается, Сэр Исаак Ньютон предположил, что в идеале тело должно двигаться вечно с одной и той же скоростью, однако мы совершенно неожиданно выяснили, что если движение относительно, то телу можно позволить двигаться вечно, однако расстояние, на которое оно переместится, бесконечным быть не должно. Иными словами, из формулировки Ньютона надо обязательно убирать слово "равномерно", что, в свою очередь, приведёт к тому, что придётся заменить неограниченную геометрию Евклида ограниченной геометрией Лобачевского, но геометрию, так или иначе, всё равно необходимо заменять (потому что Лоренц уже открыл свои преобразования), а это, с точки зрения математики, - самое простое, из того, что необходимо проверять. У этой идеи только один недостаток - национальность автора (немцы всегда люто ненавидели Лобачевского). Политика одержала верх над здравым смыслом - в этом заключается интеллектуальное преступление Альберта Эйнштейна!
        Настало время разобраться как же тело в этой ситуации должно перемещаться.

        Второй мысленный эксперимент. Выпустим из начала координат Лоренца n свободно движущихся материальных точек Аo, Аo', …, Аn с начальными скоростями
                Vi  =  с*th((i/n)*arth(Vn/с)).                ( 1 )
       В соотношении (1) используется функция Эйлера th(x) - гиперболический тангенс, потому что согласно Эйлеру,
                th(x + y) = (th(x) + th(y))/(1 + th(x)*th(y))        ( 2 )
 или, говоря простыми словами, потому что гиперболический тангенс Эйлера th(x) порождает закон сложения скоростей СТО. Следовательно,
                Vo = 0
                V1/c = th((1/n)*arth(Vn/c))
                V2/c = th((1/n)*arth(Vn/c)) + (1/n)*arth(Vn/c)) и т.д.
 Значит, каждая следующая точка движется относительно предыдущей с одной и той же скоростью, равной V1.
        Когда, спустя бесконечное время, точки остановятся, расстояния между ними согласно постулату 1 должны быть одинаковыми, поэтому Si - путь пройденный точкой i, обладавшей начальной скоростью Vi, будет равен S1*i
        Переписывая (1) в виде
                arth(Vi/c)/i  =  arth(Vn/с)/n,                ( 3 )
 деля обе части (3) на S1, получаем цепочку, состоящую из n соотношений:
                arth(V1/c)/S1 = arth(V2/c)/S2 ... = arth(Vi/c)/Si... = arth(Vn/c)/Sn.
       Обозначая общую константу этих отношений через 1/L, получаем основное метрическое свойство свободного движения
                Si/L = arth(Vi/c),                ( 4 )
 состоящее из n равенств, связывающих начальную скорость Vi и Si - путь, который преодолевает материальная точка, двигаясь по инерции бесконечное время.
       Соотношение (4) позволяет отказаться от постулата 2, для чего надо только трезво взглянуть на существующее положение дел. Альберт Эйнштейн подобно Карлу Марксу тривиально "заболтал" существующую проблему. Учение Карла Маркса, опираясь на одну единственную формулу: "деньги - товар - деньги", произвела переполох, от которого в конце-концов увидели свет экономико-экономические модели и экономико-математические методы, позволяющие создавать тексты, которые воспринимает компьютер. Что касается учения Альберта Эйнштейна, то нашлось "только три человека": Ландау, Пенроуз и Хокинг, "которые понимали теорию относительности", тогда как остальные принимали на веру то, что тогда публиковалось.
       Итак, у нас есть соотношение (4), которое является не уравнением, а тождеством, поскольку вместо "метра в секунду" мы можем взять "сантиметр в секунду" - число членов увеличится в 100 раз, однако по сути ничего не изменится. В правую его часть входит "скорость V, делённая на скорость света с", а это "печать преобразования Лоренца", тогда как в левую часть
                th(Sn/L) = Vn/c                ( 5 )
                Sn = Si & Sn-i
 поэтому
        '        '        '                th(Si/L) + th(Sn-i/L)
                th(Sn/L)  =  ------------------------               ( 6 )
        '        '        '                1 + th(Si/L)*th(Sn-i/L)
 согласно формуле сложения расстояний геометрии Лобачевского, и, согласно (5), th(Sn-i/L) = Vn-i/c, в итоге получаем,
        '        '        '                th(S(t)/L) + V(t)/c
                th(Sn/L)  =  ----------------------                ( 7 )            
        '        '        '                1 + th(S(t)/L)*V(t)/c
 правильную формулу движения материальной точки по инерции, в которую входит "гиперболический тангенс от расстояния, деленного на размер Вселенной" (печать преобразований Бельтрами), отображающих плоскость Лобачевского на плоскость Эвклида. Гениальный итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900) опубликовал в 1868 году отображение плоскости Лобачевского на внутренность круга единичного радиуса
                x' = th(x/L)
                y' = th(y/L),                ( 8 )
 где L - размер Вселенной по Лобачевскому, при котором точки отображаются в точки отображаются в точки, а отрезки прямых в отрезки прямых.
        Второй мысленный эксперимент доказывает, что массовое движение материальных точек, согласно уравнениям Лоренца, уже не удовлетворяет постулату 1, и поэтому должно осуществляться в плоскости-времени Лобачевского
                x' = th(x/L)
                t' = th(t/T)                ( 9 )
                T = L/c,
 соответственно, в общем случае в пространстве-времени Лобачевского
                x' = th(x/L)
                y' = th(y/L)
                z' = th(z/L)                ( 10 )
                t' = th(t/T)
                T = L/c
        При малых расстояниях th(S(t)/L) можно заменить на S(t)/L в результате чего (7) принимает вид
        '        '        '                S(t)/L + V(t)/c
                th(Sn/L) =  ----------------------                ( 11 )          
         '       '        '             1 + (S(t)/L)*(V(t)/c)
 Соответствующий эффект Доплера выражается соотношением (вместо греческого "омега" стоит W)
        '       '          '                1 + S(t)/L     1 + V(t)/c
                W*W = Wo*Wo * ------------- * ------------                ( 12 )          
        '       '          '                1 - (S(t)/L)   1 - (V(t)/c)
при V(t) = 0 закон Доплера становится законом Хаббла.
        Закон Доплера-Хаббла (12) позволяет вычислить "размер Вселенной по Лобачевскому", когда Луна проходит через в апогей. В этом случае V(t) = 0, а S(t) - расстояние от приемной антенны до фокуса уголкового отражателя, W и Wo известны. Это один и тот же опыт, результаты накапливаются, поэтому точность вычисления "размера Вселенной по Лобачевскому" с каждым измерением повышается, согласно закону больших чисел.
        Возвращаясь к личному опыту, хотелось бы подчеркнуть, что, вычеркивая слово "равномерное" из формулировки закона Ньютона, мы получаем возможность вычислить размер Вселенной, "не выходя из-за письменного стола", а возвращая его после этого "на законное место", даруем абсолютность состоянию покоя. Наша Вселенная до сих пор расширяется только потому, что мы позволили материальной точке, двигающейся со скоростью 1мм/сек достигать бесконечности.