Комбинаторика гиперкомплексных чисел

                Комбинаторика гиперкомплексных чисел
        Формальной основой гиперкомплексного числа является таблица умножения единичных векторов, образующих базис гиперпространства. Важны тут не столько сами таблицы сколько правила, при помощи которых по таблице N строится таблица N' - следующая.
       Например такие:
   1. Записывается таблица N и ко всем именам таблицы N спереди приписывается 0
   2. Прямо под ней, записывается та же таблица -N, ко всем именам которой спереди приписывается 1 = 0'
   3. Таблица -N отражается от диагонали вверх со сменой знака на противоположный, продолжая строки таблицы N
   4. В пустой угол таблицы N' переносится нижняя половина таблицы N (вместе с диагональю) со сменой знака у всех имён на противоположный и отражается от диагонали тоже со сменой знака на противоположный.

        Легко видеть, что эти аксиомы, во-первых, приписывают спереди ко всем именам таблицы N', составленной из четырёх таблиц N "нули и единицы" в строгом соответствии с бинарной логической связкой XOR:
                0xor0 = 0 = 1xor1,
                0xor1 = 1 = 1xor0;
 которая коммутативна и, с одной стороны, отображает 4 комбинации: {0*0, 0*1, 1*0, 1*1) всего только в два значения {0, 1}, хотя, с другой стороны, является обратимой, потому что ((xXORy)XORy) = xXOR(yXORy) = x для любых x, y. Положение спасают знаки, благодаря введению которых 4 комбинации: {0*0, 0*1, 1*0, 1*1) отображаются в четыре значения {0, 1, -0, -1}, поэтому приходится работать ещё и со знаками, "сохранять знаки" знаки матриц N в первой и второй четверти и "менять их на противоположные" - в третьей и четвёртой четвертях ("сохранять знаки" и "менять знаки" взяты в кавычки, потому что это осуществляется, но на завершающем этапе результат подправляется).

       В завершение просматривается диагональ и первый столбец, чтобы подправить их, если требуется, потому что мы строго следим за сохранением формы таблицы, однако не вмешиваемся в её содержание.

Начинаем с 0.
 1. Множество записей в N пусто, потому что таблица N состоит только из 0 - это и столбец, и строка, и диагональ.

 2. Строим следующую таблицу N.  Появляется следующее число 1 = 0'
 Шаг 1. Приписываем к пустой таблице 0. Шаг 2. приписываем к пустой таблице -1. В итоге получаем удвоенную матрицу
  0
-1
 Шаг 3. Отражаем -1 от диагонали, со сменой знака на противоположный - получаем утроенную матрицу с пустым углом
  0 1
-1
 Шаг 4. В пустой угол переносим нижнюю половину таблицы N вместе с диагональю, заменяя знак на противоположный - получаем матрицу.
  0  1
-1 -0
 Исправляем знак в первом столбце и получаем таблицу умножения, соответствующую комплексным числам
0  1
1 -0

 3. Для следующей таблицы N (после второго шага) получаем
  00  01
  01 -00
-10 -11
-11  10

Шаг 3. (Отражение в диагонали)
  00  01 10  11
  01 -00 11 -10
-10 -11
-11  10

Шаг 4. (Переносим половину N вместе с диагональю и сменой знака, в пустой нижний угол)
  00  01  10  11
  01 -00  11 -10
-10 -11 -00
-11  10 -01 +00
(Отражаем от диагонали со сменой знака на противоположный. Подправляем первый столбец и диагональ).

 Получился кватернион (в координатах Гамильтона 00 = е0, 01 = е1, 10 = е2, 11 = е3):
 00  01  10  11
 01 -00  11 -10
 10 -11 -00  01
 11  10 -01 -00

 4. Для следующей за кватернионом таблицы N после второго и третьего шагов) получаем
  000  001  010   011 +100 +101 +110 +111
  001 -000  011  -010 +101 -100 -111 +110
  010 -011 -000  001 +110 +111  -100 -101
  011  010 -001  -000 +111 -110 +101 -100
 -100 -101 -110 -111
 -101  100 -111  110
 -110   111  100 -101
 -111 -110  101  100

Шаг 4. Переносим нижнюю половину первой четверти таблицы со сменой знаков

  000  001  010   011 +100 +101 +110 +111
  001 -000  011  -010 +101 -100  -111 +110
  010 -011 -000   001 +110 +111  -100 -101
  011  010 -001  -000 +111 -110  +101 -100
 -100 -101 -110  -111 -000
 -101  100 -111   110  -001 +000
 -110   111  100  -101 -010 +011 +000
 -111 -110  101   100  -011 -010 +001 +000
 Отражаем от диагонали

   000   001  010   011 +100 +101 +110 +111
   001 -000  011  -010 +101 -100   -111 +110
   010 -011 -000   001 +110 +111 -100   -101
   011  010 -001  -000 +111 -110 +101  -100
 -100 -101 -110  -111 -000 +110  +010 +011
 -101  100 -111   110 -001 +000   -011 +010
 -110  111  100  -101 -010 +011 +000   -001
 -111 -110  101   100 -011  -010 +001 +000

Исправляем диагональ и первый столбец.

    000  001  010  011 +100 +101 +110 +111
    001 -000  011 -010 +101 -100  -111 +110
    010 -011 -000  001 +110 +111  -100 -101
    011  010 -001 -000 +111 -110  +101 -100
 +100 -101 -110  -111 -000 +110 +010 +011
 +101  100 -111   110  -001 -000  -011 +010
 +110   111  100  -101 -010 +011 -000  -001
 +111 -110   101   100  -011 -010 +001 -000

  Получился октонион (в координатах Кэли 000 = е0, 001 = е1, 010 = е2, 011 = е3, 100 = е4, 101 = е5, 110 = е6, 111 = е7), поэтому и так далее.

        То, что проделано есть сугубо традиционная практика, лежащая в основе арифметики и относящаяся к фундаментальным проблемам оснований математики – формальному исследованию понятия «следующий». Понятие следующий появляется в математике в аксиомах Пеано:
«1. 0 является натуральным числом. 2. Если n – натуральное число, то т n’ – натуральное число. 3.  Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2 нет».
Числа получаются как результат последовательного применения аксиомы 2: n, n’, n”, …
        Однако практика, как всегда, выбирает другой путь, например, тот, которым следуют компьютерные технологии, для которых важен факт физического существования двух устойчивых состояний, аппаратно реализующих понятие следующий {n, n'}:
1. поляризованное реле
2. ламповый триггер
3. полупроводниковый триггер
4. интегральная схема
5. чип
 - порождающих: двухразрядный процессор, за которым был - четырёхразрядный, затем восьмиразрядный, 16-разрядный, 32-разрядный, 64-разрядный и каждый со своей операционной системой. Следующих операционных систем может быть много, и они все разные, тогда как физическая фиксация «следования» может оставаться предельно скудной.
        В своё время Алан Тьюринг сформулировал абстрактную операционную систему, носящую имя "машина Тьюринга", мне удалось сформулировать существенно более примитивную машину "машину Вотякова", порождающую гиперкомплексные числа (ещё более примитивной является только машина Пеано, порождающая арифметику).
        "Машина Вотякова" на первый план выдвигает простые числа Мерсенна, имеющие вид "два в степени n" - 1, порождающие фундаментальнейшие алгебры типа кватернионов и октонионов, гиперпространства которых образованы простым числом равноправных единичных векторов.
         Кватернионы - три образующих единичных вектора i, j, k; - ассоциативны.
         Октонионы   - семь образующих i, j, k, l, m, n, o; - уже не ассоциативны, но альтернативны.
         Комитетионы - 31 образующих i, j, k, l, m,... -  уже не альтернативны, но ... (возможно это будут плоские структуры типа формул органической химии)
         Сенатионы   - 127 образующих (на машинах придётся вычислять, какими они являются на самом деле)
          и так далее (пока известно 52 простых числа из последовательности Мерсенна - простое число вида "два в степени n" - 1).