Об архитектуре математики и информатики

Некоторые научно-популярные статьи и книги интересны не столько тем, что из них узнаёшь что-то новое, а тем, что наводят на интересные размышления. К таким книгам относится, как мне кажется, книга «Архитектура математики. Мыслим структурами». Эта книга написана и издана на немецком языке и её немецкое название звучит так: «Die Architektur der Mathematik: Denken in Strukturen».
Автор книги Pierre Basieux не является известным математиком, а скорее известным популяризатором современной математики, автором нескольких очень интересных книг.
Меня привлекла основная идея книги, которая не только декларирована, но последовательно и весьма обстоятельно пояснена в этой книге: всё гигантское здание современной математики построено на трёх типах математических структур: алгебраических, топологических и порядковых.
Каждая из этих структур - это конечное, очень обозримое множество базовых понятий и связанных с ними аксиом. Все остальные разделы математики (а их Davis и Hersh насчитали в уже далёком 1994 году более трёх тысяч) строятся на этом структурном фундаменте либо путём смешивания фундаментальных структур, либо путем добавления новых аксиом, либо применением допущений по замене фундаментальных аксиом на новые.

Перед тем, как перейти к навеянным книгой размышлениям, пройдёмся (очень поверхностно) по её разделам.

В первом разделе автор предлагает при изучении математики в качестве «объектов мышления» (а я бы применил здесь мой любимый термин «ментальных моделей») использовать понятия элемента, множества элементов и отношения. Далее автор вводит отображения и построенные на их основе связи объектов. Затем автор вводит понятия общих свойств объектов и на их основе - классов эквивалентности. Отображения автор предлагает рассматривать далее как основной инструмент изучения математических структур.
Это классический базис университетской математики а заодно, в несколько других терминах - базис объектно-ориентированного подхода в информатике.
Что-то подобное я изучал в своё время на первом курсе математики. Только вот одновременно с этим, и особенно потом, пришлось изучать самые разные математические дисциплины, которые с этим базисом никак не были связаны, либо были мало связаны. Точнее говоря, эти связи не были объяснены. Теория вероятности, теория графов, уравнения математической физики, вычислительная математика и т.д. показались тогда островными государствами со своими причудливыми ландшафтами и законами их обитателей.

Достоинство описываемой книги заключается в наведении мостов между понятиями и аксиомами “базовой математики” и всеми другими её областями.
Автор делает это во втором разделе книги. От отношения порядка он приходит к алгебраическим структурам. Затем через определение подмножеств он приходит к определению топологических структур. После этого он определяет понятие структурной близости объектов.

На базе и с помощью этого аппарата автор в третьем разделе книги демонстрирует, как комбинируя базовые структуры перейти к разделам математики, интересным на практике - реальным и комплексным числам, теории вероятности, пространствам Колмогорова и далее - бесконечным комбинациям структур, покрывающих в итоге все области, составляющим современную математику.

Как кошмарный сон я до сих пор вспоминаю книгу Бурбаки по основам теории множеств, которую требовалось постичь для сдачи экзамена. Где-то в середине толстенной книги, после ввода и объяснения большого количества промежуточных понятий было дано определение нуля, единицы и натуральных чисел. И на это авторам потребовалось всего-то пара сотен страниц! (Да, это сарказм).

Авторы, объединившиеся в середине прошлого века под коллективным псевдонимом Николя Бурбаки, издали около десяти частично незаконченных томов по основам современной математики. Насколько я знаю, их попытка систематизировать математику многими профессиональными математиками была принята холодно. И, насколько я понимаю, эта титаническая работа была предпринята с целью «подвести фундамент» под здание уже существовавшей математики. При этом контуры этого здания, его архитектура, остались покрыты туманом.

Разумеется, колоссальный труд Бурбаки и реферируемая мной книга из совершенно разных категорий. Но возможно, что также, как при разработке модуля программной системы лучше начинать с попытки представить себе место этого модуля в архитектуре системы, так же и при изучении математической дисциплины полезно уяснить её место в архитектуре математики. Другими словами, сначала прочитать книгу Pierre Basieux а уж потом браться за глубокое изучение отдельных математических дисциплин.

Ну а теперь я позволю себе немного размышлений и “наивных” вопросов. И вдохновит меня на это последняя из приведённых в книге цитат. Это цитата из диссертации Кантора: «В математике умение ставить вопросы ценится выше, чем умение находить на них ответы».

Что же мы имеем в итоге? Получается, мы можем построить нечто вроде онтологии математики в виде дерева понятий, которые в конце концов покроют все упомянутые выше три тысячи разделов математики? Похоже что да.

Представьте себе эту увлекательную картину. Желая разобраться с непонятным математическим понятием вы с помощью этой онтологии доходите до «корневых» понятий, разбираетесь сначала с ними, а потом поднимаетесь по онтологическому дереву, не отвлекаясь на нерелевантные для вас ветви, до желаемых узлов онтологического древа математики.

Существует ли уже такое онтологическое дерево? Насколько я понимаю - пока нет. Создаётся ли оно систематически? Пусть профессиональные математики меня поправят, но насколько я могу судить из контактов с некоторыми из них - теория моделей с одной стороны и теория категорий с другой, как раз и нацелены в конечном счёте на решение этой задачи.

Однако, некоторые известные математики не считают построение онтологии важной задачей математики. Позволю себе привести в моём переводе мнение Herbert Meschkowski, высказанное в 1964 году и процитированное в книге: «В математике вообще речь не идёт об онтологических заявлениях… Следует понять, о что аксиоматически определенные «вещи» могут восприниматься как «существующие», если их система определена без внутренних противоречий. В этом случае они являются элементами добротной теории и тем самым “существуют”. Что же касается ответа на вопрос, существует ли где-то во Вселенной реальный предмет с заданными топологическими свойствами или эти свойства существуют только в «мире идей» - то ответ на этот вопрос не входит в компетенцию математики».

Таким образом, архитектура математики позволяет не только строить модели, описывающие реальный мир, но и на основании описанных правил строить новые миры.

Программисты, вам это ничего не напоминает? Не тем ли мы занимаемся большую часть своей профессиональной деятельности? Не мы ли придумываем новые сущности и их поведение и потом реализуем это с помощью кода?

Ободренный цитатой из Кантора рискну поставить несколько  вопросов, на которые сам я не знаю ответов. Я надеюсь, уважаемые читатели попытаются дать свои ответы на них:
- Где лежит граница между математикой и информатикой?
- Из чего состоит фундамент информатики?
- Какова архитектура информатики? Способны ли мы сегодня говорить о ее базе, аксиомах, правилах построения и составных частях?