Учение о гармонии

Мы начали с последовательности чисел Фибоначчи, чтобы яснее, чётче возникла в головах фундаментальная связь идей гармонии, красоты, симметрии и единства мира. Разумеется, эти простейшие пропорции невозможно использовать для серьёзного моделирования сложнейших процессов, но, например, при рассмотрении исторических событий или волн личной судьбы на начальных этапах постижения закономерностей они вполне уместны. Пропорция «золотого сечения», к которой ведут соотношения чисел Фибоначчи, связана с простейшей задачей размножения и развития, поэтому она встречается в несколько модифицированных видах во многих аспектах природной эволюции. У Ньютона, Кеплера, позже у Лапласа, Лагранжа, Пуанкаре  и др. выдающихся математиков возникают нелинейные преобразования начиная с пропорциональности квадратов периодов кубам больших осей эллипсов-орбит планет. В ряде работ мы показали необходимость более обобщённых интегральных нелинейных преобразований и возможность единого подхода к спектрам масс в микромире и мегамире, т.е. связываются не только явные пространственно-временные, но и «скрытые» в квантовом вакууме и других измерениях параметры. Переход к таким преобразованиям в нелинейной квантовой теории сулит новые открытия и теоретические предсказания сложнейшего устройства пространства-времени во всех масштабах. Идеи же единства мира и гармонии, исходящей изначально из дискретной последовательности чисел, остаются по-прежнему ценными. А в поведении простых чисел-богов остаётся ещё много загадок…
В древнейшем виде гармония кругов и сфер представляла собой пропорцию, в основном, четырёх чисел - 6:8:9:12.
Она соединяла в себе все три вида средних: геометрическое, арифметическое и гармоническое; так её описывают в «Арифметике» Никомах («самая совершенная гармония», Arithm. II,29) и Боэций («наибольшая и совершенная гармония», maxima perfectaque armonia, Arithm. II,54). Первым в истории учение о гармонии сфер изложил Платон в десятой книге диалога «Государство» (616b-617d). В небесной «гармонии» (в смысле вида октавы) 8 разновысотных
звуков: звёздное небо (высший тон), Сатурн, Юпитер, Марс, Меркурий, Венера, Солнце, Луна (низший тон). Платоновское учение, изложенное в форме мифа о загробных путешествиях Эра, носит условный характер: числовые отношения между ступенями октавного звукоряда не оговариваются, привязки космической музыки к музыке человеческой пока нет.
Звуки, которые издают в своём движении планеты,  сопоставлялись со струнами лиры или кифары. Первое дошедшее до нас свидетельство привязки планет к струнам относится к III в. до н. э. и принадлежит Александру Этолийскому. В небесной гамме Никомаха семь звуков (они же ступени звукоряда полной системы в объёме от гипаты средних до неты соединённых), причём Луна издаёт самый высокий звук, а Сатурн — самый низкий. Никомахова привязка светил к струнам кифары не имеет прототипов в сохранившихся более древних текстах.
В римской литературе учение о пифагорейской гармонии мира излагают Цицерон (в кн. 6 диалога «О государстве», знаменитом «Сне Сципиона»), Цензорин («О дне рождения», гл. 13), Халкидий («Комментарий к Тимею Платона», LXXIII), Макробий («Комментарий к Сну Сципиона» II.1-4), Боэций («Основы музыки» I, 2 и I, 27)…
Как и у Платона, в небесной гамме Цицерона 8 звуков, соотнесённых со светилами: самый высокий тон гаммы принадлежит «звёздоносному небесному кругу» (caeli stellifer cursus), самый низкий — Луне, их совместное звучание порождает совершенный музыкальный интервал — октаву («гармонию»). Находящаяся в неподвижности Земля (как положено неподвижным телам) звуков не издаёт. Привязки планет к струнам кифары и численных расчётов музыкальных интервалов между ними Цицерон не даёт. Последовательность планет в порядке удаления от Земли (в отличие от той, что даёт Платон) такова: Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн, Звездоносное небо (caelum stelliferum). При этом космическая музыка проецируется и на человеческую деятельность.
В изложении Цензорина расположение небесных тел описано так же, как и у Цицерона, в порядке удалённости от Земли: Меркурий (Стилбон), Венера (Фосфор), Солнце, Марс (Pyroeis, огненный), Юпитер (Фаэтон), Сатурн (Фенонт), Высшее небо (то есть сфера неподвижных звёзд). Привязка небесных тел к музыкальным интервалам имеет необычный вид, а именно (в порядке от Земли до Неба): целый тон, полутон, полутон, триполутон (полудитон), целый тон, полутон, полутон, полутон.
За основу «мировой музыки» (musica mundana) Боэция (Mus. I,27) взяты свидетельства Никомаха и Цицерона, однако оба своеобразно модифицированы. Интерпретируя свидетельство Цицерона, Боэций, следуя Никомаху, связал звуки светил со струнами кифары, расположив их в объёме от месы (звук Неба) до просламбаномена (звук Луны). Придав небесной гамме вид диатонической гиподорийской октавы («гармонии»), Боэций обеспечил связь «мировой музыки» с «музыкой инструментальной» (musica instrumentalis), в основу современной теории музыки положена система октавных ладов. Пифагорейская музыкальная модель мира  тем самым приобрела необходимую универсальность.
В Новое время концепция «музыки сфер» была развита Иоганном Кеплером в его трактате «Гармония мира» (1619). Каждой планете у него соответствовала своя мелодия. Отношению чисел, лежащему в основе музыкального интервала, соответствовало отношение максимальной и минимальной угловой скорости планеты; такое отношение рассматривалось и для двух разных планет. «Музыка сфер» и связанные с ней числовые отношения сыграли важную роль при открытии Иоганном Кеплером третьего закона движений небесных тел, связывающего угловые скорости с остальными параметрами орбит планет.
Наряду с поисками геометрически совершенной модели мироздания Кеплер стремился увязать соотношения орбит планет с музыкальной гармонией.
Представления о соответствии музыкальных интервалов и орбит планет достаточно широко бытовали в античной и средневековой философии. Гармония сфер была традиционной философской метафорой, которая изучалась в европейских университетах в составе квадривиума, и часто упоминалась как «музыка сфер». Кеплер занялся разработкой собственной теории музыки сфер, при этом он отказался от использования Пифагорова строя, что в конечно счёте позволило ему увязать отношения музыкальных интервалов и угловые скорости планет и заявить, что Бог действует как великий геометр, а не пифагорейский нумеролог. Кеплер отмечал также, что музыкальная гармония как продукт человеческой деятельности, отличается от гармонии как природного феномена, который взаимодействует с человеческой душой. В связи с этим Кеплер заявлял, что Земля имеет душу, поскольку подвержена астрологической гармонии. Свои взгляды на отношения между музыкальной гармонией и строением мироздания Кеплер последовательно излагает в Harmonices Mundi.
Трактат Harmonices Mundi состоит из пяти глав. Первая глава посвящена обзору правильных многогранников, вторая глава — сравнению фигур, третья — происхождению гармонических отношений в музыке, четвёртая глава рассматривает гармонические конфигурации в астрологии, и пятая — гармонию движения планет.
 Первая и вторая главы содержат исследования правильных многогранников. В них Кеплер пытается определить, каким образом многогранники, которые он определяет как правильные или полуправильные, могут размещаться вокруг центральной точки на плоскости. В следующих главах он возвращается к этим вопросам уже применительно к астрономическим объектам. Во второй главе Кеплер представляет первое в научной литературе математическое обоснование свойств двух типов правильных звёздчатых многогранников: малого звёздчатого додекаэдра и большого звёздчатого додекаэдра, впоследствии получивших название тел Кеплера — Пуансо. Кеплер описывает многогранники, используя ту же модель, с помощью которой Платон в диалоге Тимей описывает построение правильных многогранников на основе правильных треугольников.
В то время как средневековые философы использовали понятие «музыка сфер» лишь метафорически, Кеплер рассчитал математические соотношения в движении планет и увязал их с музыкальными интервалами, установив семь основных гармонических интервалов (консонансов): октаву (2/1), большую сексту (5/3), малую сексту (8/5), чистую квинту (3/2), чистую кварту (4/3), большую терцию (5/4) и малую терцию (6/5), из которых далее он вывел весь звукоряд как мажорного, так и минорного наклонения. Его расчёты показывали, что разница между максимальной и минимальной угловыми скоростями планеты составляют приблизительно гармоническую пропорцию. Например, угловая скорость Земли меняется между афелием и перигелием на полтона (соотношение 16:15), от ми до фа, скорость Венеры меняется только в отношении 25:24 (так называемая диеса в музыкальных терминах). Кеплер так интерпретирует это изменение «звучания» Земли:
«Земля поёт ми, фа, ми: вы можете даже из этих звуков сделать вывод, что в нашем доме господствуют несчастья и голод».
По мнению Кеплера, планеты формируют своеобразный хор, в который входят тенор (Марс), два баса (Сатурн и Юпитер), сопрано (Меркурий) и два альта (Венера и Земля). При этом Меркурий с орбитой в форме сильно вытянутого эллипса имеет наиболее широкий диапазон звучания, в то время как Венера, с её почти круговой орбитой, способна издавать лишь одну ноту. По оценке Кеплера, очень редко возникают ситуации, когда все планеты могут петь в «идеальном согласии» — возможно, это случалось только один раз в начале истории.
По расчётам Кеплера, все соотношения максимальной и минимальной скоростей планет на соседних орбитах, кроме одного, составляют гармонические интервалы в пределах допустимой погрешности — менее диесы. Единственное исключение из этого правила составляли орбиты Марса и Юпитера, создававшие новое «негармоническое» отношение 18:19. Это отношение, впоследствии подтверждённое законом Тициуса-Боде, объясняется наличием между орбитами Марса и Юпитера пояса астероидов, открытого лишь через 200 лет после смерти Кеплера…