107-ая проблема

THE 107TH PROBLEM      
        We continue to consider an exact distribution of prime numbers (see the 104th problem) with
        an interval
(1)                g_k;d_k; 2k; p_(i+1,k)-p_(i,k)  ,  k=1,2,3,….
        Then we define  ;{p;_(i,k)}  as a consequence of k-primes.
       We also include
(2)               2b_(i,k);2/p_(i,k)^(1+;_(i  ) (k)) ;1/p_(i,k)  +1/p_(i+1,k)  =2(p_(i,k)  +k)/((p_(i,k)+2k)  p_(i,k) ) ,
(3)               S(k,m);;_((i=1)/(k-primes))^m;b_(i,k)  =;_((i=1)/(k-primes))^m;;   1/(p_(i,k)^(1+;_(i  ) (k)) );  ,    0 ;<;;_(i  ) (k)<0.2031140136  ,
(4)               B_2k;;lim;_(m;;) S(k,m);;_((i=1)/(k-primes))^;;b_(i,k)  =;_((i=1)/(k-primes))^;;;   1/(p_(i,k)^(1+;_(i  ) (k)) );   .
        When k=1 in (1)-(3) we have twin primes, and B_2  is Brun^' s constant.
          The series (4) converges because
(5)                ;_((i=1)/(k-primes))^;;;   1/(p_(i,k)^(1+;_(i  ) (k)) );   <;_((i=1)/(k-primes))^;;;   1/p_(i,k) ;   ,
         where ;_((i=1)/(k-primes))^;;;   1/p_(i,k) ;   converges (Brun, 1919; …).
           From (2) we obtain

(6)                ;_(i  ) (k)=ln;((p_(i,k)+2k)/(p_(i,k)+k))/ln;(p;_(i,k))  .               
          In number theory, Brun's theorem states that the sum of the reciprocals of the twin primes (pairs of prime numbers which differ by 2) converges to a finite value known 
                as Brun's constant, usually denoted by B_2 (sequence A065421 in the OEIS). Brun's theorem was proved by Viggo Brun in 1919, and it has historical importance in the
                introduction of sieve methods. Brun's constant is the (possibly infinite) sum of reciprocals of the twin primes:
(6)               

                It turns out that this sum is actually convergent. Brun's constant is equal to  approximately .
                The convergence of the sum of reciprocals of twin primes follows from bounds on the density of the sequence of twin primes. Let ;_2 (x) denote the number of primes p ; x
                for which p + 2 is also prime (i.e. ;_2 (x) is the number of twin primes with the smaller at most x). Then, for x ; 3, we have
(7)                ;_2  (x)=O((x(lnlnx)^2)/;(lnx;^()2) )  .
 
THE 107TH PROBLEM      
Construct algorithms for the B_2k calculation.
              In continuation of the 103rd and 104th problems with the exact formulas for the distribution of prime   
           numbers, when the interval between consecutive (by this interval, this gap) primes is important, and in 
           many respects determining, new formulas are given for  convergent series of such primes, determined
           by the size of this interval. The resulting splitting into an infinite number of such series is unique and
           leads to an infinite number of constants (sums of these series) of the Brun’s constant type (Viggo Brun,   
           1919).

Русскоязычный комментарий
В продолжение 103-ей и 104-ой проблем при использовании точных формул распределения простых чисел, когда важным и во многом определяющим оказывается  интервал между соседними простыми числами, даются новые формулы для сходящихся рядов простых чисел, определённых по величине этого интервала.  Происходящее  расщепление на бесконечное число таких рядов является уникальным и приводит к бесконечному числу констант (сумм этих рядов) типа константы Бруна (Viggo Brun, 1919).