Мировоззрение. Геометрия НЕ Лобачевского

Из цикла рассказов МИРОВОЗЗРЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЯ НЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

Рисунок 80-х годов ХХ века: НЕВОЗМОЖНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ КАРАНДАШЕЙ!

Из огромного массива знаний в Интернете мне нравятся те, в которых простым доходчивым языком изложен и иллюстрирован материал по интересующей меня теме. На одном из найденных сайтов преподаватель математики Козель Светлана Васильевна показывает и объясняет развитие не только геометрии, а математики в целом. Мне не стоит перепроверять положения, закономерности, аксиоматику и прочие параграфы, что каждый (при желании) может найти сам и прочитать.

Кому-то попадутся другие не менее интересные статьи, где собраны воедино все известные сведения происходящих перемен от Евклида (III в. до н.э.) через эпоху Возрождения, когда геометрия и арифметика считались частями одного целого, и до нынешних дней, где элементарная математика с натуральными числами и пропорциями превращена в аналитическую разветвлённую систему счислений и отделена от геометрических фигур (они были неотъемлемой частью евклидового  пространства). Произошло это из-за необходимости сравнивать величины разных (воображаемых) тел, являющихся частью геометрического пространства, для чего сформированы АБСТРАКТНЫЕ ПОНЯТИЯ, которые введены в математические действия над натуральными числами: появились дробные числа, иррациональные значения, функции и производные, дифференциальные уравнения (для малых величин), отрицательные значения (для чисел, любых величин), и так далее.

Можно найти вехи, как была сформирована математическая физика, которая ныне доминирует над естествознанием (НАУКОЙ О ПРИРОДЕ), и по сути физика стала больше неотъемлемой частью математики, нежели самостоятельной наукой. То есть, у человечества всё происходит с точностью до наоборот: когда речь идёт о познаниях окружающей среды (обитания), математика, призванная быть всего лишь инструментом для исчисления величин, превратилась в главенствующую, но всё же АБСТРАКТНУЮ «над науку».

«СЛЕП ФИЗИК БЕЗ МАТЕМАТИКИ» (М.В.Ломоносов).

«КАК БЫ МАШИНА ХОРОШО НИ РАБОТАЛА, ОНА МОЖЕТ РЕШАТЬ ВСЕ ТРЕБУЕМЫЕ ОТ НЕЁ ЗАДАЧИ, НО ОНА НИКОГДА НЕ ПРИДУМАЕТ НИ ОДНОЙ» (А. Эйнштейн).

Понятно, что наряду с развитием философии и прикладных наук образовалось множество дисциплин. Естествознание теперь включает абсолютно всё, касаемо понимания мироздания, – ботанику, химию, биологию, астрономию и прочие, где область математической физики значительно сузилась. Если даже учитывать междисциплинарные предметы (физхимия, астрофизика и другие), благодаря чему ещё как-то поддерживается роль физики (в основном гипотетической), то возникает законный вопрос: ФИЗИКА – ЭТО ВООБЩЕ О ЧЁМ?

Когда я учился в университете, были отдельные дисциплины: гидрогазодинамика, высшая математика, теоретическая механика, материаловедение, электротехника и промышленная электроника, сопромат и многие другие, включая спецкурсы. А физика, как отдельная наука не была востребована.
Правда, в одном из семестров на первом курсе читали лекции по физике – по школьной программе (52 часа из 5,5 лет обучения), и сдавали экзамен, но было ясно, это «притянутый за уши» предмет, который для подготовки специалистов-ракетчиков физико-технического факультета не имел никакого значения.

Это я к тому, что даже для физиков курс «общей физики» (школьная программа) в университетах не нужен. В школах тоже стоило бы ввести вместо общей физики отдельные дисциплины: механика, электротехника, оптика, и так далее, которые ориентированы на ПОЗНАНИЕ ПРИРОДЫ и проведение опытов. Если чего нет в природе, того не стоит и преподавать! Кому нужны гипотезы (по сути ВЫДУМКИ)?

Это моё субъективное мнение, уверен, что в будущем так и будет! Гипотезы или абстракции (до подтверждения существования фантазий в природе) достаточно преподавать факультативно, не принуждая учеников посещать уроки. Геометрию, наоборот, изучать сызмальства и до окончания школы, начиная с исторических сведений о составлении календарей по движению небесных светил, определения и понимания понятия «времени» как такового, постулатов Евклида, построений и доказательств, что существует ровно ПЯТЬ правильных многоугольников.

ГЕОМЕТРИЮ УЖЕ ЗАТЕМ ДЕТЯМ НУЖНО ЗНАТЬ, ЧТОБ ОРИЕНТИРОВАТЬСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ!

Перехожу к тому, на что особо необходимо обращать внимание третьеклассника.

* * *
Среди постулатов Евклида наиболее громоздкая формулировка у пятого: «Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых (углов, примеч. Авт.), то продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых (углов)».

Прямые линии и прямые углы Евклид разве не сформулировал? Но это, по моему мнению, ПЕРЕВОД не слишком точен! Формулировка очень ПРОСТА! Идеально подходит для карандашей, если их толщину принять за прямую линию от точки до точки (первый постулат Евклида). И самое удивительное в том, что непонимание сути пятого постулата вызывало некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство! Постулат – утверждение, не требующее доказательств!!

Но уже с древних времён родилась идея (Птолемей, Прокл) о необходимости в доказательстве любых утверждений, приходящих в головы геометрам. Теоремы – это тоже по сути есть «математический продукт», требующий доказательства.
С одной стороны, это действительно полезно, так как отделяет выдумки людей от реалий, для чего проводится исчисление и затем проверяется эмпирически, но с другой – существует ОЧЕВИДНОЕ (аксиомы), не требующее доказательств.
Последнее, в свою очередь, должно быть понятно (определение, утверждение и расчёты с иллюстрациями, чертежами) для абсолютного числа здравомыслящих людей.

ПОПЫТКА ТРАКТОВАТЬ ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ БЕЗ ГЕОМЕТРИИ ЕСТЬ ПОПЫТКА СДЕЛАТЬ НЕВОЗМОЖНОЕ (Г.Галилей).

К пятому постулату Евклида (в переводе со штрихом – V’) относят и утверждение: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной».

Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных положений геометрии Евклида, но безуспешно. Метод логических рассуждений (логического доказательства математических утверждений) назван дедуктивным.

Дошедшие до нас тексты древнегреческого учёного Фалеса из Милета, позволяют считать его первым философом, который использовал в математике дедуктивный метод и доказательства. Именно Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметры разбивают круг, и другие геометрические утверждения. Доказательство, основанное на теореме Пифагора, обнаружило несостоятельность и бессмысленность попыток свести геометрию к натуральным числам. Проанализировав доказательство, были сформированы основные положения ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (чётности и нечётности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел). В Теории чисел были найдены и показаны закономерности.

Посмотрите на треугольники из чисел – это лишь часть из закономерностей, что я в юности с удивлением рассматривал в «Занимательной математике». Античные геометры установили числовые симметрии, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают «Начала» Евклида. Его труд объединил всё, что было известно до него, воедино.

Я абсолютно уверен, что какая-то (может большая) часть древних геометрических построений в числах была утеряна по разным причинам. Интересно знать и факт, что в разных странах велось различное летоисчисление. Если, например, гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия» содержала в себе таинственный (магический) квадрат из чисел в табличке 4х4 (16 клеточек), и в нём же был “зашифрован” 1514 год, это лето в России исчислялось «от Сотворения Мира в Звёздном Храме» как 7022. И до Петровской реформы циферблат часов был разбит на 17 делений, где значились отдельно: «день» и «ночь». Его вращали вручную, переводя каждый день с дневного на ночное время и наоборот. Третьеклассник САМ в состоянии наблюдать за небесными светилами, их движением по небосклону, педагог же обязан развить его способности к наблюдению и помочь справиться с заданиями.

Детям важно знать: ВРЕМЯ ПРИДУМАНО ЧЕЛОВЕЧЕСТВОМ ДЛЯ УДОБСТВА!

То есть, В ПРИРОДЕ ЕСТЬ ЦИКЛИЧНОСТИ, а «часов», в том смысле, как мы их воспринимаем, или «природного циферблата», не существует. Люди изобрели солнечные часы по наблюдениям. Нет никаких линий в АБСТРАКТНОЙ бездне, называемой пространством, а стало быть, гипотетические вымыслы (выдумки) о пространстве-времени не стоит принимать всерьёз (в расчёт, как геометрический объект). Абстракции можно сравнивать со снами, в которые можно верить или нет.

Какие только не придумывались названия пространствам, системам измерения и даже координатам, с одной лишь целью: измерить что-то и сравнить с чем-то другим. Достаточно знать, что в ряде развитых стран (Тайвань, Таиланд, Япония) до сих пор ведётся летоисчисление, не совпадающее с международным. 2023 год (на европейский манер) на Востоке считается у кого-то годом кота, а кого-то годом кролика, – в западных странах этому не придают особого значения. Напомню, что в ряде католических церквей отсчёты ведут по юлианскому, а не григорианскому календарю.

Кстати, именно Церкви являлись основным «тормозом» развития наук. По моему уразумению, всё, что не соответствовало церковным канонам, подлежало просто уничтожению. Среди сожжённых и преданных забвению книг, возможно, навсегда были утеряны основы (математические знаки – коды), заложенные в сотворение мира Творцом всего сущего и несущего. Творец не знал «физики», «аналитики», «вычислительной техники» и прочих развивающих человеческий ум наук. Он всё сотворил совершенно по иной, «Кодовой программе», которая человечеству для понимания недоступна и, соответственно, для применения пока не подвластна.

К изучению мистики у меня склонности нет, а вот к квадрату Дюрера ещё не раз вернусь в следующих рассказах. Этот квадрат ещё называют «дьявольским».
 
* * *
Много выдающихся известных математиков и геометров внесли вклад в развитие математической физики, чему посвящены бесчисленные труды и издания, в том числе в электронной форме. Мне же стоит сказать, что с появлением философии дедуктивный метод и доказательства (теорем) постепенно вытеснил совершенно новый подход для принятия направлений развития наук – диалектический. Даты или точные годы, когда в полемиках «улаживались разногласия» по той или иной проблеме, указать сложно, – это есть непрерывный процесс, где “побеждали” не чьи-то отдельные взгляды на окружающий мир, что были более вразумительны, а те, что нравились большинству членов Академий наук.

Первопроходцам, когда науки только выстраиваются, всегда тяжелее других!

Таким образом, место теорем заняли теории, произошло постепенное раздвоение в «принятии» доказательств или доводов от тех или иных сторонников чьих-то вразумительных и не очень взглядов. Но во все века учёные пытались познать, как устроен этот мир. Сумятицу же вносили предположения, которые оставались бездоказательными, но ложились в основу «принимаемых резолюций» научным сообществом и академиками. По гипотезам стали слагать учебники – такой приём до сих пор остаётся основополагающим в научной практике. Иногда для развития гипотез в отчётах фигурируют недостоверные результаты исследований, или же показываются математические исчисления, полученные методом подгонки под “нужный” результат, изображаются графики и диаграммы, не соответствующие действительности, надуманные, и так далее. Информации такой множество.

Я здесь выделю некоторые пары известных учёных, живших в разные времена, либо в одно и то же, которые могли в чём-то заблуждаться, а в чём-то давать «разумное зерно» для развития или продвижения фундаментальных наук.
Декарт – Лейбниц; Паскаль – Тесла; Торричелли – Ньютон; Евклид – Лобачевский; Бор – Эйнштейн; Лебедев – Столетов. Этот ряд можно продолжить, но суть в том только и состоит, чтоб убрать из трудов безусловно великих учёных всё то, что не соответствует ПРИРОДЕ-МАТУШКЕ, и оставить, что на самом деле существует в окружающей среде обитания. Но кто может теперь проделать такую колоссальную экспертизу и сделать действительно добротные выводы? Академики? Ха-ха!

Ответ, как ни странно лежит на поверхности: КАЖДЫЙ МОЖЕТ СДЕЛАТЬ ВЫВОД ДЛЯ СЕБЯ САМ! Наблюдая самостоятельно, я привык доверять своим глазам!

Правда, для этого нужно не только сравнивать с учебниками, но и разбираться во всех интересующих меня вопросах, прежде чем сделать для себя некий вывод.

В данном рассказе приведу лишь один пример, как на основе понимания двух выдающихся геометров Евклида и Н.И.Лобачевского, приходит озарение, и к чему это приводит.

Я беру карандаши, как представлены на первом рисунке, и делаю геометрические построения на основе пятого постулата Евклида. Естественно, в одной плоскости, а для этого карандаши рисую простыми линиями, соблюдая цвета. Произвольные длины выбранных отрезков – для наглядности, чёрный и зелёный – под прямым углом (90°), для того, чтобы лучше понимать первую часть постулата V. Важно видеть, в каких направлениях и какие цвета вдали сойдутся, если продолжать линии неограниченно. Сами прочертите (мысленно).

Вторую часть постулата даже не вычерчиваю – она слишком проста. Теперь веду построения по неевклидовой геометрии, то есть по утверждениям Лобачевского.

Аксиома Лобачевского: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Практически выполнит задание любой сообразительный третьеклассник, стоит только понять, что вместо реальных карандашей он берёт нарисованные линии на листе бумаги, и затем весь этот лист располагает параллельно исходной прямой (линии).

Я показал на одном рисунке ДВЕ параллельные Евклида и плоскость, которая также параллельна этим двум линиям. Выглядит чрезвычайно просто. К тому же, плоскость у меня ограничена линиями, но я могу расширить поверхность листа, и тем самым увеличу количество потенциальных точек, через которые проведу бессчётное количество линий в любом направлении. Линии будут соответствовать аксиоме Лобачевского. То есть, я смело могу расширить КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ результат его аксиоматики: «Через точки, не лежащие на данной прямой, можно провести не одну, а бесконечное множество параллельных ей прямых».

Более того, на одинаковом расстоянии от двух евклидовых параллельных линий я провёл “незримую” плоскость, т.е. не обозначенную визуально. На ней разместил те же линии (карандаши) и показал такое же самое бесконечное множество линий, которые при желании можно провести через каждую точку параллельно первой плоскости (в пространстве). Все эти линии будут удовлетворять условию аксиомы Лобачевского!

На соседнем рисунке показал бесконечное множество параллельных плоскостей, собранных уже в цилиндр. Все плоскости объединены в поверхности цилиндра, ибо их расстояние от центральной оси, образованной параллельными линиями Евклида, одинаково. Не буду приводить формулу для количественного счисления возможных параллельных прямых, результат очевиден: БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО.

Но вот что интересно. Лобачевский ведь не остановился на достигнутом и развил теорию, действительно построил и вывел новую неевклидову геометрию, столь же логически совершенную и безупречную, богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям.
Достаточно сказать, что все прямые линии, которые сходятся в пространстве при их неограниченном продолжении (как зрительная перспектива, железнодорожные пути вдали, как меридианы на глобусе Земли) – это те же самые геометрические построения, которые «умом непостижимы», но соответствуют его аксиоме!!!
НЕ КАЖДЫЙ ПЕДАГОГ ВОСПРИНИМАЕТ СХОЖДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ ВДАЛИ! Поэтому Н.И.Лобачевский – великий русский математик XIX века!

Тем, кто не обладает достаточным пространственным воображением, сложно понять и представить, что параллельные могут в пространстве сходиться. Они верят больше логике мышления, а не собственным глазам. Стереотипы можно побороть нестандартными ощущениями. Можно глянуть на 10-метровую вышку для прыжков в воду, затем взобраться на неё и попытаться перебороть страх, не прыгая, а только стоя на краю (вышки). Зрительная разница колоссальная!

Помню, когда бывал в Чикаго, нас однажды разметили в гостинице на 22 этаже: зрелище необыкновенное! Люди внизу (на улице) величиной с муравья!
И вот тут самое странное! Чему верить? Строгому определению или чувствам?!

Педагог Козель Светлана Васильевна на своём сайте так отзывается о том, что происходит с параллельными прямыми: «По распространённому мнению, в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. На самом деле они НЕ МОГУТ ПЕРЕСЕКАТЬСЯ ни в какой геометрии в силу самого определения параллельности».

Значит, выходит, дети должны выучить урок и рассказать точно так, как говорит преподаватель, обманывая самого себя. Или выстроить геометрию, как описано у меня выше, и донести до учителя мысль, что аксиома не требует доказательств!

* * *
К концу рассказа перейду к главному, ради чего я это всё здесь затеял. Мне уже не раз приходилось слышать от разных учёных (и не только), мол, фантазии мои далеки от реалий! Хотя повторяю, что это СУБЪЕКТИВНАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ, НЕ НАВЯЗЫВАЕМАЯ НИКОМУ, – фотографирую и выкладываю подтверждающие снимки. Люди со школьной и университетской скамьи привыкли к строгим (но во многом к гипотетическим или стереотипным, заученным ДЛЯ ОЦЕНКИ) знаниям. И эти знания (особенно в физике) чаще всего или почти никогда не согласуются с ПРИРОДОЙ. Кто-то сомневается, даже упорствует, отстаивая свои заблуждения, то есть, пытается «оспорить» фотографии! Вдумайтесь! На днях получил вопрос от оппонента (учёного!), – он попросил меня по фотографии определить размеры! Но это только выдумщики и маги «умеют» измерять размеры по фотографиям!
По фотографии можно посчитать количество чего-то и вывести соотношение.
Когда заявляют, что мои фото, мол, это «подделки», на меня это не действует! Потому что имею сотни снимков. А что у оппонентов, кроме однажды заученных догм, без доказательств? Но мне вовсе не всё равно, какие знания втолковывают ПЕДАГОГИ В ШКОЛАХ И УНИВЕРСИТЕТАХ НАМ, НАШИМ ДЕТЯМ, ВНУКАМ И ПРАВНУКАМ! Поэтому и делюсь своими наработками с теми, кто понимает! А кто не понимает, пусть продолжает отстаивать свои или чьи бы то ни было выдумки!

Последующая часть рассказа НЕ для третьеклассников (9-10 лет), а для детей  старшего возраста (подростков, начиная с 15-16 лет, с паспортом). Потому что я преднамеренно буду вводить ассоциативные названия, чтоб можно было не просто прочесть текст, но и, как говорится, прочувствовать. Ощутить собственную дрожь, как на той 10-метровой вышке, когда смотришь в страхе с высоты на воду.

Если геометрия Евклида и неевклидова геометрия – внутренние математические (количественные) положения фигур и тел в пространстве, более того, геометрия Лобачевского в геометрических понятиях и построениях положила пути создания новой (современной) физики, то далее у меня речь пойдёт о КАЧЕСТВЕННОЙ геометрии НЕ ЛОБАЧЕВСКОГО! Речь пойдёт о тонкой энергетической структуре. 

Собственно, рисунок очень прост: я развернул предыдущий (цилиндр) на 90°!

Но что в итоге получил, превратив осевую линию в точку? Кто-то подумал, что это проекция цилиндра на плоскость (что, в общем-то не верно, но именно так чертят и проекции). В данном случае я продолжаю тот же логический путь, показанный выше. То есть, допустим, в этом рисунке можно узреть геометрию Лобачевского, если параллельные линии цилиндра продолжать неограниченно. Тогда дальняя от нас поверхность превратится в точку! Но мы не будем понимать, выстроен ли слишком длинный цилиндр или перед нами конус, вершину которого тоже видим в виде точки, что посередине круга. Причём, из данного построения неясно, какова размерность конуса (соотношение сторон) или цилиндра. Не будем гадать.

Это не конус и не цилиндр, и вообще геометрия НЕ Лобачевского! ЭТО СФЕРА!!

Я не просто развернул ось на 90°, но ещё умудрился уменьшить размер линии (оси) до размера ТОЧКИ! КАЧЕСТВЕННО НОВАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ!

Своим действием я просто резко сократил, ограничил пространство: превратил из бесконечного в конечное!

Всё пространство теперь уместилось в СФЕРЕ, по величине пропорциональной диаметру сферы. Естественно, все точки сферы отстоят от центра на одинаковом расстоянии, равном половине диаметра сферы. Однако, все наши линии, которых можно было провести для аксиомы Лобачевского бесконечное множество, и все они отвечали принципу параллельности относительно оси цилиндра, необходимо свести в одну точку на поверхности сферы, иначе нарушается параллельность плоскостей, на которых эти линии расположены. Другими словами, через каждую точку сферы можно провести всего лишь одну касательную плоскость к сфере.

Наглядно представил на рисунке 4 разноцветные линии, проходящие через одну точку сферы, лежащие в ОДНОЙ плоскости. Понятно, я смогу образовать только ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ (касательные) плоскости к сфере – они будут расположены на противоположных сторонах, и расстояние между ними будет в точности равно диаметру сферы (не изображено, чтоб не загромождать рисунок). Умозрительно соединяя две точки параллельных касательных поверхностей (на одной сфере), я могу утверждать: линия, соединяющая эти точки, пройдёт через центр сферы.

Когда же одна точка видна, как на рисунке, диаметрально расположенная скрыта от взора, если тело непрозрачно и не полупрозрачно. На одной сфере я смогу разместить сколь угодно парных точек, но через них проведу не более ДВУХ параллельных меж собой плоскостей.

Но что мне сделать, чтобы выстроить такую качественную геометрию не на листе бумаги, а в реальном пространстве? Нужно идти от обратного. Простейшая сфера известна всем: это надувной шарик, либо мяч. Или мыльный пузырь. Капли воды после дождя, свисающие с веток. В космическом пространстве капли воды имеют самоорганизующиеся сферические формы. Это есть прямое подтверждение, что при определённых природных условиях, даже в телах, создаваемых человеком, есть самоорганизующиеся вещества, меняющие свою форму до сферической.
 
В следующей части рассмотрим рукотворное изделие – ленту серпантина, на её примере я покажу, каким образом разные формы связываются в тонкие структуры.
 
Но уже сейчас можно поэкспериментировать со столбиком и распущенной лентой серпантина. Посмотрите на своём экране (дисплее, мониторе) на рисунок сверху вниз и снизу вверх под разным углом (зрения) и ощутите разницу. Вы увидите, что часть рисунка исчезает из поля зрения.

Продолжение следует…