Парадокс Бертрана

Или какова вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника?

Какая часть всех возможных хорд круга будет длиннее стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность?

Решение 1:
 Считаем хорды, а не площади или части радиусов (второй и третий варианты Бертмана).
При любом способе проведения хорд внутри круга их можно провести одинаковое количество раз - безчисленное.
В парадоксе Бертрана случайность проведения! хорд характеризуется соотношением площадей занимаемым "длинными" и "короткими" хордами, но хорда не занимает никаких площадей. Через любой отрезок можно провести бесчисленное количество хорд.

Хорда в окружности может быть "длинной" или "короткой" или равной стороне вписанного треугольника коих тоже бесконечное множество, а значит ответ: один к трём.

Решение 2:
Если принять точку за условную единицу то:

Пусть первая  хорда окружности состоит из двух близлежащих точек. (Через любые две точки окружности можно провести хорду.) Тогда все другие хорды будут длиннее первой или равны ей.
При этом из каждой точки окружности можно провести только одну хорду подобно первой(минимальную хорду) и бесчисленное множество хорд длиннее первых минус минимальная.


Хорд длиннее первой  = бесчисленное количество (хорд из каждой точки окружности)  умноженое на бесчисленное количество (точек окружности)  минус бесчисленное количество хорд подобно первой.
NxN-N

При минимальной стороне вписаного N-угольника в окружность, "длинных" хорд гораздо больше.
С увеличением  длины первой хорды, на условное количество единиц, уменьшается количество "длинных" хорд ровно на количество появляющихся "коротких" хорд.


Если хорд  3, то вероятность "длинных" хорд или соотношение "длинных" к оставшимся = 3/NxN-N=3/6=1/2
               
4 /12 =1/3
5 /20 =1/4
6 /30 =1/5
7 /42 =1/6
8 /56 =1/7 и тд.

-----

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
(Понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса.)
Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка).
(Википедия)

Если, перед тем как бросить кости, разложить их в ладони в определённом порядке, затем бросить их с определённой силой на определённую поверхность при определённых других условиях, то какое количество условий и каких именно должно быть определено, чтобы брошенные кости всегда выдавали один и тот же наилучший результат?

Значит вероятность - не желание видеть закономерность в действии и принятие свершившегося факта как независимого (случайность).

Всё тот же Парадокс Бертрана
или какова вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника вписанного в окружность сообщает нам о том, что вероятность или случайность имеет место быть и приступая к решению этого порадокса необходимо или согласиться со случайностью вообще и не иметь возможности решить этот парадокс и, скорее всего даже усилить парадоксальность, или поискать закономерность и развеять данный парадокс по ветру, или и то и другое вместе

Вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника вписанного в окружность...
Вот кружность, вот сторона вписанного треугольника, вот хорда которая длиннее. В чём может выражаться вероятность, а именно случайность проведения (и хорд тоже) вообще? В количестве хорд? Их, и тех что длиннее и тех что короче, одинакого безчисленное множество.
Или не одинакого?
В мире случайностей и в мире самого Ферма - не одинакого.

1) Метод «случайных концов» Бартрана: наудачу выберем две точки на окружности и проведём через них хорду. Чтобы посчитать искомую вероятность, представим, что треугольник повёрнут так, что одна из его вершин совпадает с концом хорды. Заметим, что если другой конец хорды лежит на дуге между двумя другими вершинами треугольника, то длина хорды больше стороны треугольника. Длина рассмотренной дуги равна трети длины окружности, следуя классическому определению, искомая вероятность равна 1к3.

Значит Бертран саму случайность свёл к части длины окружности. Или, другими словами, проведение хорды зависит от длины окружности...
Да да, определить  случайность вне зависимости вообще у Бертран не получилось и он по прежнему продожает искать, но не саму закономерность проведения хорд, а закономорность случайного проведения хорд. Можно ли провести хорду случайно? Попробуйте. Можно даже с закрытыми глазами.

2) В методе "случайного радиуса" Ферма, случайность проведения хорды зависит от радиуса окружности...
3) В методе "случайного центра" Бертран, случайность проведения хорды зависит от площади вписанной окружности...

Очевидно, что случайность абсурдна сама по себе.