Суммирование Рамануджан

Даны три числовых ряда А, В и С.
А    1 -1 +1 -1 +1 -1 ...  = 1/2. (1)
В    1 -2 +3 -4 +5 -6 ...            (2)
С    1 +2 +3 +4 +5 +6 ...         (3)
Числовой ряд (1) — это ряд Грамши А, сумма которого равная 1\2 была найдена ранее. 
Числовой ряд (3) последовательность целых положительных чисел.

Найдём сумму ряда (2), помеченного как В.
Для этого вычтем ряд В из ряда А:
А - В = (1 -1 +1 -1 +1 -1 ...)  - (1 -2 +3 -4 +5 -6 ...)      (4а)
А - В =  1 -1 +1 -1 +1 -1 ...     -1 +2 -3 +4 -5 +6 ...       (4в)
Объединим по два члены из последовательности А с членами из последовательности В.
Первый член из А объединим с первым членом из В.
Второй член из А объединим со вторым членом из В.
и так далее.

Получим:
А - В = (1-1)+(-1+2)+(1-3)+(-1+4)+(1-5)+(-1+6) ... (5а)
А - В =   0  +   1  -  2  +   3  -  4  +   5 ...                (5в)
А - В = 1 -2 +3 -4 +5...                (5с)
А - В = В. А = 2В.
Так как сумма числовой последовательности (1), помеченная как А, равна 1/2 имеем:
1/2 = 2В. Или В =1/4. 
     Сумма числового ряда В (1 -2 +3 -4 +5 -6...)  = 1/4.

Найдём сумму ряда (3), помеченного как С.

Вычтем числовой ряд С из числового ряда В.
В - С = (1 -2 +3 -4 +5 -6...) - (1 +2 +3 +4 +5 +6 ...)   (6а)
В - С =  1 -2 +3 -4 +5 -6...    -1 -2 -3 -4 -5 -6 ...          (6в)      
В - С = (1-1)+(-2-2)+(3-3)+(-4-4)+(5-5)+(-6-6)...      (6с)
В - С =   0  -   4  +  0  -   8  +  0  -   12...                (6d)
В - С = -4 -8 -12 ...                (6е)
Извлечём множитель -4 из последовательности (6е).
В - С = -4(1 +2 +3...).
В - С = -4С. 
В = -3С.               

Значение В = 1/4. Тогда получаем:
1/4 = -3С. Или
С = -1/12.
Сумма бесконечного целочисленного ряда положительных чисел равна -1/12.

И так:
А    1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 ...    =  1/2.               
В    1 -2 +3 -4 +5 -6 +7...     =  1/4.               
С    1+2 +3+4 +5+6 +7...     = -1/12.               

"Каким образом все большие числа, сложенные вместе, могут дать маленькое число?
Как целые числа могут составить дробь?
Как положительные числа могут образовывать отрицательные?
Ну, это явно смешно, да?".
Вот недоумения, высказываемые при первом знакомстве с исчислением расходящихся числовых рядов.
"Благодаря статье Денниса Оверби в разделе Science Times в New York Times «ПОРАЗИТЕЛЬНО: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . = -1/12» "...по состоянию на утро 4 февраля публикация привлекла более 1,5 миллиона посещений".

На сегодня суммирование расходящихся числовых рядов является достаточно глубоко разработанным разделом математики и получило название СУММИРОВАНИЕ ЧЕЗАРО.
Эрнесто Чезаро, 1839 - 1906.Итальянский математик.