История деления

                История деления

        Наука начинается с деления. Очень давно, когда ещё люди не знали десятичных дробей, делением занимались профессора математики... Рассмотрим для примера задачу. Умирая, отец оставил трём своим сыновьям 15 породистых скакунов и дал указания, что старшему полагается половина, среднему половина от того, что осталось, младшему и тому, кто делил, поделить поровну то, что осталось. Если делить, как нас в школе учили, то старший получит 7,5 коней, средний - 3,75, младший 1,875 (приходится резать 3-х коней). Решение задачи. Рабби приехал на своём коне, завёл его к остальным пятнадцати - стало 16 коней и приказал старшему: "Забирай себе половину" и тот взял 8 коней; затем сказал среднему: "Забирай себе половину" и тот взял себе 4-х коней; затем сказал младшему: "Забирай себе половину" и тот взял себе 2-х коней, а Рабби сел на своего коня и отправился домой, получив коня за хорошо проделанную работу.
        Грек Эвклид, чтобы разделить отрезок пополам, взял циркуль и провёл им две одинаковые окружности, центрами которых были концы отрезка. Окружности пересеклись в двух точках, лежащих по разные стороны отрезка. Провёл через эти точки прямую, которая пересекла отрезок в точке, равноудалённой от его концов.
        Сэру Гамильтону довольно долгое время не удавалось разделить пространство-время до уровня осей координат. Неожиданно ему повезло и он разделил его в 1843 году при помощи открытой им алгебры кватернионов на: вещественную ось времени и три мнимые оси пространства, равноправные между собой.
        В том же 1843 году Артур Кэли разделил пространство-время на 7 мнимых осей пространства и одну вещественную ось времени путём введения кватерниона над полем комплексных чисел. Новые числа он назвал октонионами. Крупнейшие математики планеты пытались обобщить формализм Артура Кэли с целью продолжения серии линейных алгебр Гамильтона-Кэли на пространство больших размерностей, однако никому продвинуться дальше не удалось.
        В 2006 году мне пришла в голову свежая идея - не мог понять: почему все делят отрезок Декарта
                [A, B] = x*A + (1-x)*B
пополам всегда "поперёк", но никогда не делят - "вдоль", хотя реализуется это довольно легко - надо только позволить связанной (то есть входящей в определение отрезка) переменной x принимать комплексные значения и, можно сказать, всё автоматически, становится на свои места.
        До меня такую работу проделал: "Гамильтон Уильям Роуан (1805-1865). Дал точное формальное изложение теории комплексных чисел. Построил систему чисел - кватернионы. Механике дал общий принцип наименьшего действия, вывел т.н. каноническое уравнение механики" (Цитата из энциклопедического словаря). Сэр Гамильтон занимался не делением окрестности нуля, чтобы вычислить траекторию по дифференциальному уравнению, как это делали все, а "делением" траектории вдоль. Никто не может обвинить его в том, что он расщеплял траекторию вдоль. Вместо этого он проводил все мыслимые траектории через точки A и B, а потом выбирал из них, в каком-то смысле, наилучшую. Иными словами, он все мыслимые траектории вначале уравнивал, предоставляя им одинаковые шансы, а потом выбирал одну, в каком-то смысле, наилучшую. Распараллеливал траекторию при помощи комплексных чисел Ричард Фейнман в своей квантовой электродинамике, однако формального механизма, обеспечивающего "распараллеливание" явно не сформулировал.
        Сэр Гамильтон в 1843 году дал нашей цивилизации уникальный пример распараллеливания единичного отрезка Декарта на 4 ветви: вещественная (время) и 3 равноправные мнимые (пространство). Не так давно где-то прочитал прекрасно запомнившийся пример современных рассуждений: "чтобы узнать как устроены часы мы разгоняем их на ускорителе для часов, чтобы они столкнулись, а мы могли рассмотреть разлетевшиеся во все стороны шестерёнки".
       Как математик, я рассуждал бы иначе. Мы берём два протона и, уцепившись за окрестности окружающего их пространства, разгоняем и сталкиваем друг с другом. В результате обе окрестности разрушаются: не только сами протоны, но и даже пространство вокруг них разрушается, превращаясь в пространство более высокой размерности. Понятно, что оно не может взорваться, потому что заперто в пространстве меньшей размерности. В возникшем хаосе внутри окрестности происходит расщепление пространства и появившиеся четырёхмерные окрестности (одна вещественная координата и три мнимые) вылетают оттуда в наше пространство вместе с тем, что в них оказалось.
        Не буду ходить вокруг да около, как вы полагаете: что изучают современные физики? Структуру материи или структуру совершенно пустого пространства? Если материи, то пусть продолжают... А если пространства, то пусть внимательно изучают, то что было сделано в математике. Математики не изучают материи - это не их объект. А вот пустое пространство или совершенно пустое пространство - это для них.
        "Но тут, позвольте, отступленье". Что меня поражает в физике, так это воинствующее невежество относительно свойств совершенно пустого пространства. Эвклид и Лобачевский изучали совершенно пустое пространство, а получили разные результаты - одну геометрию изучают в школе, тогда как другую не изучают даже в Университете. Почему? Да потому что какой-то идиот, я подозреваю, что это был Гаусс, внушил научному миру глубоко ошибочное мнение, что главная свойство геометрии Лобачевского состоит в том, что она неевклидова. У Евклида, видите ли, через точку вне прямой проходит одна параллельная прямая, а у Лобачевского - две! Это наглая ложь! На самом деле, в геометрии Лобачевского время, как и для каждого из нас, течет только вперёд. Вторая прямая - это фантазия, мысленно её можно провести, а вот перемещаться по ней в прошлое не получится!
        Геометрия Лобачевского ближе физике! Насколько? Да на целую бесконечность! Потому что в этой геометрии ограничено РАССТОЯНИЕ! Вот жил величайший физик Лоренц, который при помощи своих преобразований показал, что скорость движения материальных тел ограничена скоростью света. Это привело к умопомрачительной революции научного сознания. А то, что Лобачевский своими рассуждениями показал всем, что ограниченность чего-то, например расстояния, естественно вытекает из нашей способности делать правильные умозаключения, осталось незамеченным! Геометрия, как иллюстрация истины "Я мыслю, значит, я существую" свидетельствует, что всё имеет право быть ограниченным! Не только скорость движения, что установлено экспериментально, но и время, и расстояние, и производные от расстояния по времени, и интегралы от расстояния по времени и, что точка тоже имеет ненулевые размеры, раз пространство ограничено. Наглость научного сообщества в этом смысле не имеет границ: в комплексные числа физики поверили, а в геометрию Лобачевского - это выше человеческих сил. Пока какой-нибудь светлый гений не получит Нобелевскую премию за то, что экспериментально доказал, что фотон краснеет, проходя от одного конца эталонного метра до другого, геометрия Лобачевского будет считаться образцом Российской лженауки.
        Может физика объяснить, почему наше пространство трёхмерно? Не может! А Сэр Гамильтон давным-давно это объяснил. Можно ли точно сформулировать чрезвычайно трудную проблему, которой должны заниматься в математике? Можно! Следует дополнительно к натуральным числам, основанным на понятии "следующий", сформулировать объекты чуть-чуть более сложные, но по-прежнему базирующиеся на понятии "следующий", чтобы они, отправляясь от уже известных чисел: комплексных, кватернионов и октонионов, - сформировали бесконечную последовательность простейших структур, позволяющих работать: с многозначными логиками, структурами пространства-времени, структурами равноправия для биологии и общественных наук.
        Комплексные числа обладают всеми свойствами вещественных чисел, позволяя решить любое алгебраическое уравнение. Кватернионы некоммутативны, но ассоциативны (скобки в произведении можно расставлять произвольным образом) - при перестановке множителей произведение меняет знак на противоположный. Октонионы отличаются от чисел ещё больше - они не ассоциативны, но в цепи сомножителей, состоящей из двух элементов, скобки можно расставлять произвольным образом. Это свойство называется альтернативность
                (((((((((((((((ab)a)b)a)b)a)b)a)b)a)b)a)b)a)b) = (((ab)(ab))(ab)(ab)))*(((ab)(ab))(ab)(ab)))
 слева цепь растянута на 15 элементов, а справа сжата до 2. Это "струна" - концевые точки двигаются свободно, пока цепь не растянута.
        Следующая система состоит из 1 временной оси и 31 пространственной. Её надо изучать, там умножение обладает ещё более сложными свойствами, чем альтернативность. Кстати, физиков интересуют не математические тонкости таблицы умножения делителей единицы, а результаты  взаимодействия частиц (на знаки, то есть спины, можно в этом случае просто наплевать) и, доложу я вам, ничего проще, чем таблица умножения "имён частиц" я не встречал. В качестве иллюстрации предлагаю вам заполнить таблицу умножения комитетионов (без учёта знаков) (см. рис.).
       Первый шаг - построение рамки. В качестве имён выберем буквы русского алфавита, исключая из него "ё" и "й" (31 буква) вместо единицы берём ".". Записываем в первую (последнюю) строки (столбцы) таблицы "алфавит".
       Шаг второй - первый квадратик. Заполняем главную диагональ таблицы первой буквой, вспомогательную - последней. Если число букв алфавита было чётным в середине образуется полностью заполненный квадратик.
       Шаг третий - заполнение креста. В квадратике плотно друг к другу стоят первая и последняя буквы алфавита, они указывают как должны заполняться две строки таблицы и два столбца алфавитом. Первая заполняемая строка выделена зелёным цветом (первый заполняемый столбец - красным), остальные фиолетовым и синим.
       Всё!
       Из одной таблицы мы получили 4 такие же. Таблица имён заполняется как британский флаг - диагоналями и крестами!