Флаг Британии. Общество и мышление

              Флаг Британии. Общество и мышление.

"Куча из трёх камней
 и роща из четырёх деревьев..."
        Это - "стихотворение в прозе" о множествах. Соответственно, об обществах -
"Я мыслю, значит,
 Я существую"
 - Он мыслит...  Иными словами, он уже знает, что надо делать, но время действовать ещё не пришло. Это Состояние Расщеплённого Сознания. Мозг у нас один, но в виде двух полушарий, он не только анатомически расщеплён, но и
функционально тоже. Одна половина, исходя из потребностей настаивает на решении задачи, решение которой почему-то откладывается, потому что другая мыслит... Надо что-то делать, а я парализован, потому что мой мозг, состоящий из двух половинок, занят какой-то внутренней работой. Возникает - Состояние. Примеры в стихах:
 
Стою под тополем,
Жую травиночку...
Сама протопала
К нему тропиночку.

Осень выкрасила небо
Колдовским каким-то цветом
Это скоро. Это скоро...
Бабье лето, Бабье лето...

Телеграмма уж готова,
Ни одной нет запятой,
В ней всего четыре слова -
Мама я хочу домой...

         Сознание поляризовано: что-то надо делать, но я ничего не делаю. Наш мозг разделён: одна часть - мечтательная, другая - исполнительная. Это не деление мозга пополам - это только его поляризация. Снята поляризация -
одной проблемой меньше.
        -А*А = 1 или А*А = -1
         Существует 2 изоморфных кватерниона и 480 изоморфных октонионов, подобное разнообразие не украшает математику. Ввиду того, что это тесно связано с нашей головой, резонно задать вопрос: на какое свойство следует обратить внимание, чтобы октонионы стали похожими на кватернионы, а не размножались безудержно, как им это дозволено в наши дни. Всё это так напоминает принцип наименьшего действия Гамильтона - 480 траекторий известны, значит надо выбрать из них оптимальную. Надо выбрать ту, в которой мнимые единицы наиболее равноправны!
         С именами без знаков всё ясно - это таблица логической связки XOR. Остается разобраться со знаками, а для этого надо прежде всего "замкнуть рамку". Заполнить таблицу по именам - не проблема, чтобы двигаться дальше следует "замкнуть рамку", то есть расставить знаки в последней строке и последнем столбце. Кватернион нам "подсказывает", что в нём знаки чередуются,

                0  1  2  3     0  1  2  3
                1 -0  3 -2     1 -0 -3  2
                2 -3 -0  1     2  3 -0 -1
                3  2 -1 -0     3 -2  1 -0

         Что касается меня - главнейшая часть таблицы умножения - "рамочка", потому что для меня заполнение таблицы умножения всех видов гиперкомплексных чисел начинается с неё. Следовательно, мы можем просто чередовать знаки и у нас тоже получится всего только 2 разных рамки! А, значит, только 2 октониона, совпадающих при отражении в зеркале...
        Рассуждая чисто формально, если вам известно 480 изоморфных алгебр, то вы просто обязаны выделить среди них одну и объявить её канонической. Если вы этого не сделали, то в чём смысл ваших титанических усилий? Вы же математик, а не собиратель редких доказательств.
         Итак, требуется найти каноническое представление октониона. Не самому же его выводить, начиная с нуля? Пришлось много чего пересмотреть, хотя пример находился он на самом виду, я обнаружил его в "Математической энциклопедии", том 3, с. 161. (см. рис.). Автор статьи: КУЗЬМИН Евгений Никифорович (р. 8.3.1938, Чебоксары) – математик, доктор физико-математических наук, ученик Мальцева (СОРАН). В моих обозначениях канонический октонион Кэлли-Диксона-Кузьмина имеет вид:

          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  3 -2 -5  4 -7  6
          2 -3 -0  1 -6  7  4 -5
          3  2 -1 -0 -7 -6  5  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5 -4 -7  6  1 -0 -3  2
          6  7 -4 -5  2  3 -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0

Полуфабрикат - рамочка с диагоналями и крестом, я называю её "флаг Британии" - символ мирового господства, имеет вид

          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  _ -2 -5  _ -7  6
          2    -0  1 -6  7  _ -5
          3  2 -1 -0 -7 -6  5  4
          4  5  6   7 -0 -1 -2 -3
          5  _ -7   6  1 -0  _  2
          6  7  _  -5  2  _ -0 -1
          7 -6  5  -4  3 -2  1 -0

        Шаг 1. Заполняем рамочку. Первый крест. Заполняем первым столбцом столбец "4": от "минус нуля" вниз и продолжаем сверху, меняя знак на противоположный (минус в первой строке исправляем на плюс). Заполняем первой строкой строку "4": от от "минус нуля" влево заполняем ячейки первыми тремя элементами первой строки со знаком минус, затем меняем знак и продолжаем заполнять ту же строку слева-направо элементами первой строки. Половина креста заполнена.

          0  1  2  3 -4  5  6  7
          1 -0  _  _ -5  _ -7  6
          2  _ -0    -6  7  _ -5
          3  _  _ -0 -7  _  _  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5  _ -7  _  1 -0  _  2
          6  7  _  _  2  _ -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0
        Шаг2. Заполняем третий столбец, от диагонали вниз, последним столбцом: 7, 6, -5, 4, меняя знак, продолжаем: 3, -2, 1 (исправляем знак при 4). Заполняем третью строку от нуля влево "минус последней строкой": -1, 2, -3, и с противоположного конца продолжаем положительной строкой:-4,5,-6, (следующая уже заполнена). Подведём итог. каждая их четырёх сторон "рамки" вносит одинаковый вклад в заполнение "креста" (флаг Британии), рассекающего поле большой рамки на 4 одинаковые рамки меньшего размера:

          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  _ -2 -5  _ -7  6
          2  _ -0  1 -6  7  _ -5
         -3  2 -1 -0 -7 -6  5 -4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5  _ -7  6  1 -0  _  2
          6  7  _ -5  2  _ -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0

        Шаг 3. Восстанавливаем внешнюю рамку).

          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  _ -2 -5  _ -7  6
          2  _ -0  1 -6  7  _ -5
          3  2 -1 -0 -7 -6  5  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5  _ -7  6  1 -0  _  2
          6  7  _ -5  2  _ -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0

Теперь площадь большой рамки разбита на 4 площади, в каждой из которых не заполнено по 2 ячейки. В первой рамке в первом столбце отсутствует имя 3, следовательно, туда надо вставить -3 (в каждой стоке и каждом столбце
должны находиться все имена этой рамки, кроме того должно быть два плюса и два минуса, для остальных рамочек это требование тоже должно исполняться). В результате получаем таблицу, от которой отправлялись.

          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  3 -2 -5  4 -7  6
          2 -3 -0  1 -6  7  4 -5
          3  2 -1 -0 -7 -6  5  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5 -4 -7  6  1 -0 -3  2
          6  7 -4 -5  2  3 -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0

 Таблица умножения октонионов порождается рамкой, в которой знаки чередуются (их всего только две) и простыми правилами. "На всякого мудреца - довольно простоты". Ещё в школе всё это будут преподавать.


 Упрощённое заполнение рамки октониона

 Каноническая таблица умножения октонионов
          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  3 -2 -5  4 -7  6
          2 -3 -0  1 -6  7  4 -5
          3  2 -1 -0 -7 -6  5  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5 -4 -7  6  1 -0 -3  2
          6  7 -4 -5  2  3 -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0

               Заготовка
          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  _  _  _  _  _  6
          2  _ -0  _  _  _  _ -5
          3  _  _ -0  _  _  _  4
          4  _  _  _ -0  _  _ -3
          5  _  _  _  _ -0  _  2
          6  _  _  _  _  _ -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0


Шаг 1.   Заполняем четвёртый столбец первым столбцом: 1, 2, 3; (смена знака) -4, -5, -6, -7.
          0  1  2  3 -4  5  6  7
          1 -0  _  _ -5  _  _  6
          2  _ -0  _ -6  _  _ -5
          3  _  _ -0 -7  _  _  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5  _  _  _  1 -0  _  2
          6  _  _  _  2  _ -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0
 Заполняем четвёртую строку, отражая в диагонали четвёртый столбец.

 Шаг 2.  Заполняем третий столбец последним столбцом: 7, 6, -5, +4; (смена знака) 3, -2, +1
          0  1  2  3 -4  5  6  7
          1 -0  _ -2 -5  _  _  6
          2  _ -0  1 -6  _  _ -5
          3  _  _ -0 -7  _  _  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5  _  _  6  1 -0  _  2
          6  _  _ -5  2  _ -0 -1
          7 -6  5 +4  3 -2  1 -0
 Заполняем третью строку, отражая в диагонали третий столбец.

          0  1  2  3 -4  5  6  7
          1 -0  _ -2 -5  _  _  6
          2  _ -0  1 -6  _  _ -5
         -3  2 -1 -0 -7 -6 -5 -4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5  _  _  6  1 -0  _  2
          6  _  _ -5  2  _ -0 -1
          7 -6  5 +4  3 -2  1 -0

Шаг 3. Исправляем исходную рамку

          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  _ -2 -5  _  _  6
          2  _ -0  1 -6  _  _ -5
          3  2 -1 -0 -7 -6 -5  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5  _  _  6  1 -0  _  2
          6  _  _ -5  2  _ -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0
Незаполненными остались середины четырёх кватернионов, которые заполняются по общему принципу, в каждой строке и каждом столбце кватерниона должно быть: 1.  "два плюса" и "два минуса". 2. Присутствовать все 4 имени. 3. На главных диагоналях располагаться одно и то же имя.

          0  1  2  3  4  5  6  7
          1 -0  _ -2 -5 +_ -_  6
          2  _ -0  1 -6 +_ +_ -5
          3  2 -1 -0 -7 -6 -5  4
          4  5  6  7 -0 -1 -2 -3
          5  _  _  6  1 -0  _  2
          6  _  _ -5  2  _ -0 -1
          7 -6  5 -4  3 -2  1 -0

       Далее всё ясно, но теперь мы способны заполнить таблицу любого размера.
 Теорема доказана.