Влияние платонизма на рождаемость истины

Ввиду ценности материала, и трудности его пересказа, я хотел бы скопировать сюда нечто удивительное, на мой взгляд.

Приходите иногда перечесть. Оно того стоит.

*

1. ПРИРОДА МАТЕМАТИКИ
1.1. Платонизм ; философия работающих математиков
Французский математик Шарль Эрмит сказал как-то: он убежден в
том, что числа и функции ; это не изобретения математиков, они
существуют независимо от нас, как существуют вещи реального мира.
Было время, когда это высказывание цитировалось как свидетельство
"стихийного материализма выдающихся ученых".
Однако такие высказывания математиков свидетельствуют совсем
о другом ; об их стихийном платонизме. Платонистское отношение
математиков к объектам своих исследований обусловлено самой
природой математического метода. Но, разумеется, при решении
методологических вопросов такой философии придерживаться уже
нельзя. Как трудно, однако, изменить привычки, обретенные в ходе
повседневной работы, когда переходишь в сферу методологии...
Но сначала ; о платонизме самого Платона (427;347 гг. до н.э.),
который жил на закате "золотого века" Древней Греции. В 431;404 гг. до
н.э. велась обескровившая Грецию Пелопоннесская война, а в 337 г. ;
через 10 лет после смерти Платона ; Грецию покорила Македония. В
своей конкретной форме философия Платона сформировалась под
влиянием греческой математики.
Развитие греческой математики в VI;V вв. до н.э. привело к
образованию математических объектов в современном смысле этого
слова: представления о числах, точках, прямых и т.д. стабилизировались
и тем самым оторвались от своего первоисточника ; свойств и
отношений объектов реального мира. "Математическая прямая не имеет
ширины, а точка вообще не имеет размеров". Ничего в точности такого в
реальном мире нет: вместо прямых встречаются более или менее гладкие
полосы, а вместо точек ; пятна различной формы и размеров. Однако без
этого перехода к идеализированному (но зато стабильному, застывшему)
миру точек, прямых и т.д. математические знания остались бы на уровне
ремесла, так и не достигнув уровня науки. Только идеализация
(упрощение, исключение второстепенных деталей) сделала возможным
такой эффективный инструмент, как евклидова геометрия.
7
В свою очередь, понятие натурального числа (1, 2, 3, 4, ...)
возникло в ходе оперирования совокупностями несливающихся
предметов. Процесс становления этого понятия завершился по-существу
уже в VI в. до н.э., когда во времена Пифагора были доказаны первые
теоремы о системе натуральных чисел в целом, например, теорема о том,
что простых чисел существует "больше любого наперед заданного
количества". Ясно, что об эмпирической проверке таких утверждений
речи быть не может. Но в то время понятие натурального числа уже
оторвалось от своего реального источника ; "количественных
закономерностей совокупностей несливающихся предметов", и стало
функционировать самостоятельно ; как модель. Натуральный ряд чисел
; это идеализация упомянутых количественных закономерностей.
Человек абстрагировал его на основе практического опыта с небольшими
совокупностями (1, 2, 3, 10, 100, 1000 и т.д. предметов). Для
совокупностей гораздо больших (многие миллионы предметов) он
предположил аналогичные закономерности и тем самым идеализировал
(а может быть, как заметил П. К. Рашевский [1973], даже исказил)
реальную ситуацию.
В самом деле, количество атомов в данном листе бумаги ; четное
или нечетное? С точки зрения традиционной арифметики оно "обязано"
(в каждый момент времени) быть либо четным, либо нечетным. В
действительности же лист бумаги никакого точного числа атомов не
имеет (хотя бы из-за сотен тысяч ядерных реакций, происходящих
каждую секунду под воздействием космических лучей). Кроме того,
согласно новейшим космологическим теориям, полное число
элементарных частиц во Вселенной значительно меньше 10200. Как мы
должны тогда относиться к утверждениям вроде "10200 +1 ; нечетное
число"? Очевидно, таким образом, что арифметика занимается не только
практически полезными алгоритмами вычисления, но и вещами
совершенно фантастическими, лишенными непосредственного реального
смысла.
Разумеется, древние греки не могли видеть все это столь ясно.
Рассуждая о количестве простых чисел, они думали, что обсуждают вещи
столь же реальные, как те совокупности предметов, от которых понятие
натурального ряда было абстрагировано.
Итак, первый в истории математики процесс идеализации
закончился стабилизацией понятий о числах, точках, прямых и т.д. Эти
понятия определились и надолго стали общепринятыми в обществе
математиков. Этот момент наступил еще в V в. до н.э. Стабилизация
понятий свидетельствует об их отделении от реальных объектов,
обращение с которыми привело людей к выработке этих понятий. Ведь
8
застывшим может стать только понятие, уже оторванное от своих
реальных прообразов, продолжающих самостоятельную жизнь и
содержащих огромное разнообразие второстепенных и изменяющихся
нюансов. Работая в области геометрии, математик исследует не
непосредственно отношения реальных объектов, а свое сложившееся
(застывшее) представление о них ; идеализированный "мир" точек,
прямых и т.д. Если бы он во время своих размышлений постоянно
вспоминал об особенностях реальных вещей (о степени их гладкости и
т.п.), то вместо науки (общих, эффективных и далеко идущих геометри-
ческих методов) мы имели бы только простейшие, специфические
алгоритмы, найденные путем проб и ошибок или с помощью
элементарной интуиции. Именно на таком уровне остановилось развитие
математики Древнего Востока.
Для греческих философов появление математического метода
было новостью: исследовать не непосредственно природу, а какое-то
застывшее представление о ней, субъективно воспринимаемое в процессе
исследования как "последняя" реальность, дальше которой ничего нет.
Рождение математического метода разные философы отметили по-
разному (но, разумеется, никто из них не сумел тогда дать правильную
оценку такого сложного явления). Платон, изучая математику, пришел к
весьма оригинальному мировоззрению, согласно которому существует
два мира: мир идей (идеально строгий и точный, упорядоченный и
гармоничный ; как мир геометрических образов) и мир вещей
(несовершенный, "размытый", хаотический). Каждая реальная вещь
представлялась Платону несовершенной, приблизительной реализацией
своей "идеи" (которая существует независимо от самой вещи в мире
идей). Характерно также остроумное, но совершенно фантастическое
представление Платона о природе математического исследования: перед
рождением человека его душа обитает в мире идей, а во время своей
земной жизни, занимаясь математикой, она постепенно вспоминает опыт,
обретенный в мире идей. Разумеется, это перевернутое вверх ногами
представление о действительной природе математического метода.
Конечный результат развития математических понятий ; застывшая
система идеализированных объектов ; принимается Платоном за
исходную позицию, вокруг которой "танцуют" вещи реального мира.
Платон старался по-своему объяснить стороны процесса познания,
которые были недоступны философии его времени из-за недостаточной
конкретно-научной базы. В данном случае речь шла об объяснении
природы идеализированных математических объектов. Для правильного
ее объяснения греческая наука не имела достаточной базы в таких
областях, как физика, биология, физиология и психология.
Сегодня мы называем платонизмом любую философскую
9
позицию, которая какую-либо систему идеальных объектов человеческой
мысли трактует как особый, независимо существующий мир. Именно
такой оказывается и философия "работающих" математиков, которые, как
правило, не задумываются о "природе" своей деятельности.
Платонистское отношение к объектам своего исследования
неизбежно для математика: в своей повседневной работе он оперирует
числами, функциями, точками, прямыми и т.д. как объектами,
составляющими некоторое подобие мира, как "последней реальностью",
за которой нет никакой другой, "более подлинной" реальности. Да и как
иначе можно глубоко исследовать систему понятий, которая
стабилизировалась и оторвалась от своего первоисточника? Именно в
платонизме работающих математиков ; одна из "тайн" творческой силы
математики!
Это объясняет и неизбежность элементов платонизма в
мировоззрении математиков, как правило, не очень искушенных в
философии. Привычки, обретенные в повседневной работе, обладают
огромной силой. Когда математик, не имеющий достаточной
философской подготовки, берется за решение методологических
вопросов, за объяснение природы своих результатов, он невольно
привносит в рассуждения элементы платонизма. Этим страдали и
страдают в равной мере как рядовые, так и великие математики.
Заявления математиков об объективном характере своих результатов ;
как правило, не материализм, а платонизм! Самые выдающиеся среди
немногих исключений из этого правила – А. Н. Колмогоров и В. М.
Глушков.
Правда, платоник в некотором смысле "лучше" субъективного
идеалиста, утверждающего, что математические объекты ; произвольные
творения человеческого ума. Следует, однако, различать людей, которые
просто объявляют свои построения объективными, существующими
независимо от нас, людей, и материалистов, которые пытаются объяснить
происхождение математических понятий и определить закономерности
их развития.
Является ли Ваша собственная философия математики
платонистской или нет, это легко определить с помощью следующего
теста. Рассмотрим последовательность простых чисел-близнецов:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), ...
(простые числа принято называть близнецами, если их разность равна 2).
Гипотеза: существует бесконечно много пар близнецов. Это
предположение не доказано (и не опровергнуто) до сих пор. Верите ли
Вы, что несмотря ни на что, гипотеза должна быть "объективно"
10
истинной или ложной? Для обоснования своей веры Вы можете восполь-
зоваться следующим рассуждением. Представим себе, что мы
продвигаемся вперед вдоль последовательности натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
и время от времени встречаем пары близнецов:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), ...
Существует ведь только две возможности: а) мы доходим до последней
пары близнецов и больше их не встречаем (в этом случае гипотеза
оказывается ложной), б) пары близнецов появляются все время (тогда
гипотеза истинна).
Рассуждая таким образом, Вы демонстрируете свой платонизм. Вы
привыкли оперировать натуральными числами так, как будто они
составляют некий специфический мир, который очень похож на мир
повседневных вещей. Вы привыкли думать, что на практике любое
достаточно определенное утверждение должно быть либо истинным,
либо ложным. Поэтому Вы и не в состоянии представить третью
возможность: количество пар близнецов не является ни конечным, ни
бесконечным. Однако такая возможность не будет нас удивлять, если мы
вспомним, следуя П. К. Рашевскому, что система натуральных чисел
содержит не только некоторую информацию о действительном мире, но и
множество элементов фантазии. Почему Вы полагаете, что этот
фантастический мир людям удалось "сфантазировать" так идеально
правильно, что на вопрос о количестве близнецов обязательно будет
существовать ответ?
(Другая иллюстрация платонистского подхода к методологическим
вопросам математики ; высказывание Н. Н. Лузина о континуум-
проблеме в разделе 2.4.)
И Ваш платонизм, и платонизм Н. Н. Лузина ; это нормальный
платонизм работающего математика, стимулирующий занятие
проблемами любой сложности ; ведь заранее никогда неизвестно,
разрешима проблема или нет.
Однако, переходя к решению методологических вопросов, уже
нельзя давать волю платонистским привычкам (полагая, что несмотря на
неразрешимость проблемы близнецов "для нас, людей", их количество
"объективно" является либо конечным, либо бесконечным). Это означает
допускать существование мира идей (мира чисел), не зависящего от
аксиом, используемых в рассуждениях математиков. Тогда платонизм
математический превращается в платонизм философский. Такие люди
утверждают, что традиционные аксиомы не передают адекватно все
богатство содержательной математики, что надо искать более адекватные
11
аксиомы, и даже ; что никакая фиксированная система аксиом не в
состоянии представить богатство математики полностью. Это погоня за
миражами ; никакого подлинного мира математики, не зависящего от
аксиом, с помощью которых он исследуется, разумеется, не существует.
Правильная же оценка ситуации состоит в следующем.
Если обнаружено, что традиционные аксиомы математики не
позволяют решить какую-либо проблему, то это свидетельствует о
внутреннем несовершенстве данных аксиом (а не об их неадекватности
какому-то "миру"). Возможно, следует заняться совершенствованием
аксиом. И всегда оказывается, что вариантов развития, как правило,
несколько. Например, можно принять так называемую аксиому
конструктивности или противоречащую ей аксиому
детерминированности (см. раздел 2.4). Так как эти варианты
противоречат друг другу, то о приближении к единственному
"подлинному миру математики" здесь не может быть и речи.
Наш главный вывод состоит в следующем: хотя повседневная
работа математиков постоянно толкает их в платонизм (и как творческий
метод этот платонизм весьма эффективен), при решении
методологических вопросов от него следует сознательно отказываться.
Игнорирование этой проблемы ; основной недостаток многих
философских сочинений, посвященных математике.
1.2. Исследование застывших моделей ; сущность
математического метода
Термин "модель" используется ниже в смысле, принятом в
прикладной математике, а не в логике (т.е. мы будем обсуждать модели
природных процессов и технических устройств, а не модели множеств
формул).
Что характерно для математического подхода к решению какой-
либо (физической, технической и т.п.) проблемы? Характерно прежде
всего стремление как можно скорее "покончить с реальностью", перейти
к исследованию определенной (фиксированной) математической модели.
Поэтому в процессе формулирования задачи часто задаются вопросы:
можно ли предположить, что данная зависимость линейна, можно ли
пренебречь такими-то возмущениями, можно ли считать данное
распределение вероятностей равномерным (нормальным или
пуассоновским) и т.д., и т.п. Во всем этом видно стремление скорее и с
использованием по возможности меньшего числа исходных принципов
сформулировать математическую задачу, решение которой несмотря на
12
сделанные упрощения дало бы какое-то решение исходной проблемы.
Математики приучают себя к жизни (именно к жизни!) в мире
математических понятий, а в отдельные периоды (пока идет разработка
конкретной проблемы) ; даже в узко-специальном мире определенной
модели. После того как модель создана, для математиков ее исследование
становится самоцелью. В процессе работы они отвлекаются от
отражающего аспекта модели, совершенно игнорируют его. Именно в
этом ; причина платонистского отношения математиков к объектам своих
исследований. Именно в этом ; источник творческой силы математики,
источник "непостижимой эффективности математики в естествознании и
технике" (Е. Вигнер). Благодаря такому подходу математики умеют
извлекать максимум следствий из минимума посылок. Именно
разработанность математических моделей (наличие готовых алгоритмов,
общих методов) делает их применение таким эффективным. Ведь модель,
если ее единственное достоинство ; адекватность оригиналу, сама по
себе бесполезна, если нет методов и алгоритмов, позволяющих в
реальное время вывести заключения, дающие новые знания об
оригинале. И ключ к этой разработанности ; умение математиков
(буквально) жить в мире разрабатываемой модели, забывая обо всем
другом. Это даже создает для некоторых из них репутацию сухарей,
отшельников и чудаков.
Таким образом, платонизм является фактически психологией
работающих математиков, и философией он оказывается только с их
собственной субъективной точки зрения.
С появлением математики все научные теории следовало бы
делить на два класса:
а) теории с развивающейся системой принципов,
б) теории с застывшей системой принципов.
Теории класса а) в ходе своего развития обогащаются новыми
принципами, которые нельзя обосновать ранее принятыми. Появлению
таких принципов мы обязаны фантазии специалистов, которые
опираются на все более совершенную экспериментальную базу. Прогресс
теории состоит здесь прежде всего в этом процессе обогащения.
С другой стороны, в математике, физике, отчасти в химии и
совсем редко в других науках встречаются теории, принципиальная
основа которых со временем не меняется, а если и меняется ; это
изменение квалифицируется как переход к новой теории. Так, на теорию
относительности А. Эйнштейна можно смотреть как на уточнение
классической механики И. Ньютона, как на дальнейшее развитие той же
ньютоновской теории. Но поскольку обе теории очень точно определены,
13
то на переход "от Ньютона к Эйнштейну" можно смотреть и как на
переход к другой теории. Развитие этих теорий продолжается по сей
день: доказываются новые теоремы, изобретаются новые методы
расчетов и т.д. Однако принципиальная основа (исходные постулаты)
каждой из них остается неизменной (такой, какой она была при жизни их
создателей). Только те положения признаются относящимися к данной
теории, которые можно вывести из (давно известных) ее основных
принципов. Все, что выходит за рамки этих принципов, относится уже к
другой теории.
Застывшая система основных принципов ; отличительная
особенность всякой математической теории. Математическая модель
какого-либо явления природы или технического устройства ; это
непременно застывшая модель, сближению которой с оригиналом
положен предел. Только такую модель может исследовать математик.
Всякая попытка уточнить модель (видоизменить ее определение с целью
еще больше приблизить к оригиналу) приводит к новой модели, которая
опять должна "застыть", чтобы ею мог заниматься математик.
Формирование математических моделей, их уточнение ; это не
собственно математическая деятельность, она относится к той отрасли
науки или техники, которая заинтересована в конечном результате
исследования.
Сформулированная выше концепция сущности математики не
является общепринятой и, как правило, воспринимается с трудом. Что же
препятствует восприятию математических теорий как застывших? "Во-
первых, математические теории почти никогда не рассматриваются
изолированно одна от другой.... теория множеств одновременно с ее
возникновением начала применяться к изучению геометрических
объектов (собственно, для этого она и была создана). Чем продуктивнее,
чем ближе к практике математическая теория, тем сильнее проявляется
эта тенденция. Во-вторых, внутри любой теории ее теоремы состоят, как
правило, из двух частей: условия и заключения. Заключение теоремы
является, таким образом, следствием не только застывшей совокупности
аксиом, но и конкретного, специфического для данной теоремы условия.
А что такое условие, как не расширение застывшей системы принципов?
В-третьих, любая математическая теория открыта для пополнения
новыми понятиями. Так, в анализе вслед за понятием непрерывности
функции вводятся: понятие точки разрыва, классификация таких точек,
понятие функции, непрерывной на отрезке,..., равномерной
непрерывности, условие Лифшица,... и т.д. Исследуются свойства
каждого нового понятия, и эти свойства постепенно оттесняют далеко на
задний план исходную совокупность аксиом.... Все это нисколько не
противоречит тезису о неизменности исходной системы принципов
14
(аксиом и правил вывода), но препятствует восприятию математических
теорий как "застывших" работающими математиками." (из письма С. С.
Лаврова, 1988 г.)
Итак, математический метод ; исследование застывших моделей.
Очень важно, что математическая модель (именно потому, что она
застывшая) уже не привязана жестко к оригиналу. Может оказаться, что
модель была выбрана неудачно (плохо отвечает оригиналу), однако это не
препятствует ее исследованию ; ведь застывшая модель точно
определена. Можно сказать поэтому, что математическая модель "не
нуждается" в оригинале, она не обязательно является моделью чего-то,
она ; модель "сама по себе". Такую модель можно видоизменить
(получив новую), руководствуясь уже не интересами соответствия
оригиналу, а просто ради эксперимента или исходя из эстетических
соображений. Так легко получаются "модели сами по себе", не имеющие
реальных оригиналов. Застывший характер математических моделей
делает это явление возможным и даже неизбежным.
Если математический метод ; исследование застывших моделей,
то чем является в таком случае сама математика? Модели могут быть
более или менее общими (сравним, например, школьную арифметику,
теорию относительности и какую-либо конкретную модель Солнечной
системы). Частные модели лучше всего исследовать под руководством
специалистов, которые эти модели строят и используют. Сочетание
специальной подготовки с достаточной математической подготовкой (в
одном человеке или в коллективе) будет здесь наиболее эффективным.
Исследование же моделей, которые представляют более общий (или даже
всеобщий) интерес и имеют широкую область применения (применимы в
исследовании целого ряда более специальных моделей), составляет
содержание особой науки, которую принято называть математикой. Так,
своей широкой применимостью в различных областях науки
примечателен математический анализ (дифференциальное и
интегральное исчисление). Это типичный пример модели (теории),
которая относится к математике. С другой стороны, конкретная модель
Солнечной системы (используемая, в частности для точного
предсказания солнечных затмений) является слишком специальной,
чтобы относить ее к математике (хотя это и математическая модель).
Застывший характер математических моделей и теорий составляет
как силу, так и слабость математики. Извлечь максимум информации из
минимума посылок ; это умение математиков многократно доказало
свою эффективность в науке и технике. Однако обратной стороной такой
силы является слабость: никакая конкретная застывшая модель (теория)
не в состоянии решить все проблемы, возникающие в науке (или даже
только в математике). Этот диалектический тезис блестяще подтвердился
15
в знаменитой теореме Геделя о неполноте.
И еще одна слабость: математика, оторвавшись от действительных
проблем, управляемая только своими "внутренними потребностями", на
наших глазах расплывается и разбухает... Создаются теории и целые
отрасли математики, которые еще долго не будут (а может быть,
принципиально не могут) применяться к исследованию реальных
проблем. Как пошутил польский писатель С. Лем в своей книге "Сумма
технологий", математик ; сумасшедший портной, который шьет
"всевозможные одежды", надеясь сшить и кое-что пригодное для
одевания. Как мы видели, эти отрицательные явления ; неизбежное
следствие самой природы математического метода.
1.3. Интуиция и аксиоматизация
Застывший характер математических моделей и теорий не всегда
бросается в глаза ; мешает платонистская привычка смотреть на объекты
математики как на особый "не зависящий от нас мир", который "нами
только изучается".
Мало кто будет оспаривать застывший характер теории, которая
полностью аксиоматизирована. В аксиомах такой теории выражены все
принципы рассуждения, которые в ней допускаются. Тем самым
принципиальная основа теории зафиксирована и всякое ее изменение
выражается в явных изменениях аксиом.
Каким образом, однако, можно считать застывшими теории,
которые не аксиоматизированы? Так, все математики сходятся во мнении
относительно того, какие рассуждения о свойствах натуральных чисел
следует признать доказательными, а какие приводят только к гипотезам
или ошибкам. И это ; несмотря на то, что большинство математиков не
знают ничего о каких-либо аксиомах арифметики! И даже в случаях,
когда теория вроде бы построена на аксиомах (как, например, геометрия
в "Началах" Евклида), в ее рассуждениях могут быть обнаружены
моменты, не вызывающие разногласий относительно их справедливости,
но в аксиомах тем не менее не отраженные. Например, различные
свойства отношения "точка A лежит на прямой между точками B и C"
используются у Евклида без всякого обоснования. Только в XIX в. М.
Паш ввел "аксиомы порядка", характеризующие это отношение. Тем не
менее и раньше все математики рассуждали о нем одинаково, не
сознавая, как это у них получается.
Пытаясь объяснить это явление, приходим к понятию интуиции.
Обычно оно почему-то связывается с творческим мышлением, с
16
"непосредственным постижением истины" и т.п. Но здесь нас интересует
гораздо более прозаический аспект интуиции.
Человеческий мозг является настолько сложной системой связей и
процессов, что нет никакой надежды, что "слабый свет сознания" будет
держать под контролем все детали этого электрохимического фейерверка.
Это заставляет признать, что кроме мыслительных процессов, которые
осознаются (полностью или частично), в мозгу постоянно происходит
масса процессов бессознательного мышления. Причем, как показывает
опыт, если бессознательный процесс приводит к результатам, имеющим
большое значение для данной личности, то результат иногда
распознается сознанием. Однако сам процесс, приведший к результату,
при этом может остаться скрытым от сознания (отсюда и впечатление
"откровения", см. Ж. Адамар [1945], А. Пуанкаре [1908]).
Если существуют бессознательные процессы мышления, то
должны существовать и неосознанные "разумные принципы",
регулирующие это мышление (ведь оно приводит не только к
беспорядочным сновидениям, но и к разумному решению реальных
проблем). Такие принципы могут управлять и теми процессами
мышления, которые частично осознаются.
В случае математических теорий мы как раз имеем дело с
определенным комплексом бессознательных принципов, которые наряду
с аксиомами (или даже совсем без них) регулируют наши рассуждения.
Такие бессознательные регулирующие факторы, вырабатываемые в ходе
интенсивных умственных занятий в определенной области, и следует
называть интуицией. Можно говорить поэтому, что помимо явно
сформулированных аксиом и правил вывода теория может быть
зафиксирована и в особой интуиции. Можно говорить об интуиции
натурального ряда, которая (без каких-либо аксиом) однозначно
регулирует наши рассуждения о натуральных числах, или о "евклидовой
интуиции", которая делает геометрию вполне определенной, хотя в
аксиомах Евклида содержатся далеко не все предпосылки
геометрических рассуждений.
Но как объяснить возникновение интуиций, одинаково
управляющих рассуждениями стольких людей? По-видимому, решающим
здесь является то, что люди ; существа примерно одинаковые, что все
они имеют дело с примерно одинаковым внешним миром и в процессе
обучения, воспитания, практической и научной деятельности они
стремятся к согласию между собой.
Со временем, когда исследования достигают определенного
уровня сложности, постоянство (определенность) интуитивных моделей
становится недостаточным. Тогда среди специалистов начинают
17
возникать разногласия: какие способы рассуждений допустимы, а какие ;
нет. Но даже если постоянства и достаточно, оно может оказаться "не
того рода". Может оказаться, например, что допустимые (по общему
мнению) способы рассуждения приводят к нелепым выводам. В истории
математики подобные ситуации бывали: крах дискретной геометрической
интуиции в результате открытия несоизмеримых отрезков (конец VI в. до
н.э.), подозрительность к отрицательным и комплексным числам (до
конца XVIII в.), спор Л. Эйлера и Ж. д'Аламбера относительно понятия
функции (XVIII в.), плохо обоснованное обращение с расходящимися
рядами (XVIII–XIX вв.), трудности восприятия теории множеств
Кантора, парадоксы в этой теории (XIX в.), скандал с аксиомой выбора
(начало ХХ в.). Все это ; следствие неизбежной неконтролируемости
бессознательных процессов. По-видимому, "принципы", регулирующие
эти процессы, отбираются и укрепляются посредством своеобразного
"естественного отбора на полезность". Однако мы знаем, что
естественный отбор страдает "близорукостью", что он не способен на
безошибочную далеко идущую координацию. Поэтому появление
парадоксов (как действительных, так и мнимых) неудивительно.
Определяющая интуиция теории не всегда остается постоянной ;
особенно много изменений происходит на начальном этапе становления
теории (когда интуиция, как и сама теория, еще не сложилась
окончательно). На этом, самом деликатном, этапе между специалистами
возникают особенно резкие разногласия (над новаторами издеваются и
т.п.).
Надежный выход из положения может состоять только в переводе
(хотя бы части) бессознательных принципов в сознательные (с
последующим исследованием их согласованности). В буквальном смысле
такой перевод невозможен: мы не можем знать внутреннюю
дифференциацию факторов, составляющих интуицию. Поэтому речь
может идти только о реконструкции этого "черного ящика" явными
средствами.
Существует два метода такой реконструкции: генетический и
аксиоматический. С помощью генетического метода пытаются
моделировать интуицию средствами другой теории (которая сама может
также быть интуитивной). Таким образом, "подозрительная" интуиция
моделируется на базе более надежной интуиции. Этим способом удалось
преодолеть подозрительность к комплексным числам, вводя их
геометрическую интерпретацию (каждое комплексное число
представляется точкой на плоскости, т.е. средствами евклидовой
геометрии). В результате даже такие необычные свойства этих чисел, как
бесконечное множество значений lоg(x) для отрицательного x,
превратились в простые теоремы геометрического или топологического
18
характера. И споры по поводу всевозможных кажущихся парадоксов,
связанных с комплексными числами, утратили почву. Там, где раньше
могли ориентироваться только выдающиеся математики, теперь легко
ориентируется любой школьник.
Аналогичное прояснение ситуации наступило с определением
основных понятий математического анализа (предел последовательности,
непрерывность и т.д.) в терминах "эпсилон-дельта". Однако оказалось,
что некоторые из понятий, реконструированных в терминах "эпсилон-
дельта", обладают неожиданными свойствами, которых у их
интуитивного прообраза не было. Так, раньше полагали, что всякая
непрерывная функция дифференцируема почти всюду, кроме отдельных
исключительных точек "разлома". Однако если руководствоваться
точным определением непрерывности, то оказывается, что можно
построить непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной
точке (пример нигде не дифференцируемой функции К. Вейерштрасса). У
А. Пуанкаре эти функции вызывали отвращение и он называл их язвой...
Появление у реконструированных понятий неожиданных свойств,
во-первых, свидетельствует о том, что здесь происходит именно
реконструкция (а не простое копирование интуитивных понятий), а во-
вторых, это заставляет серьезно рассматривать вопрос об адекватности
реконструкций.
Генетический метод "проясняет" одну интуицию средствами
другой, т.е. действует относительно. Аксиоматический метод, напротив,
действует "абсолютно" и состоит в следующем. Среди общепризнанных
утверждений об объектах теории выделяются некоторые объявляемые
аксиомами, т.е. "истинами", не требующими доказательства. После этого
остальные утверждения теории уже требуется доказывать на основе
аксиом. Доказательства могут содержать и интуитивные элементы,
которые должны иметь более элементарный (более очевидный) характер
по сравнению с тем, что выражено в аксиомах. Часто эти элементы
сводятся к интуитивному использованию чисто логических средств
рассуждения, арифметики целых чисел, математического анализа или
теории множеств. Наиболее известные случаи, когда применялся
аксиоматический метод: аксиомы Дж. Пеано для арифметики целых
чисел, аксиомы Евклида, аксиомы Д. Гильберта для той же евклидовой
геометрии, аксиомы Э. Цермело и А. Френкеля для теории множеств.
Аксиоматизация (так же как генетический метод) дает всего лишь
реконструкцию интуитивных понятий. Проблема адекватности
реконструкции здесь обычно сводится к вопросу: все ли существенные
характеристики интуитивных понятий отражены в аксиомах или какая-то
часть забыта? Более сложными являются случаи, когда аксиоматизация
19
применяется не просто для реконструкции существующей интуитивной
теории "один к одному", а для спасения последней, когда та запуталась в
парадоксах. Система аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств
была создана именно в такой ситуации: в интуитивной теории множеств
Г. Кантора были обнаружены парадоксы и аксиоматизация явилась
единственным выходом из положения. Проблема адекватности
реконструкции здесь особенно сложна: сохранено ли все положительное
содержание интуитивной теории?
В чем может состоять критерий адекватности реконструкции?
Рассмотрим в качестве примера определение понятия действительного
числа через рациональные числа. Такие определения были предложены в
1870-х гг. одновременно несколькими математиками (Р. Дедекиндом, Г.
Кантором и др.). В результате многие подразумеваемые ранее свойства
действительных чисел превратились в теоремы. Но почему мы считаем
эти реконструкции удовлетворительными? Достаточно ли точно и полно
передают они исходное интуитивное понятие действительного числа?
Как обосновать точность и полноту реконструкции, если исходное
понятие существует только в интуиции и всякое его выделение оттуда
становится новой реконструкцией, адекватность которой опять
нуждается в обосновании? Другого пути нет: мы должны
руководствоваться только тем, как интуитивное понятие проявляет себя
в практике математических рассуждений. Если все свойства
действительных чисел, которые ранее считались очевидными и которые
хотя бы раз фиксировались на бумаге, доказаны как теоремы (на основе
нового, реконструированного понятия), если все теоремы
математического анализа, доказанные ранее с использованием
интуитивного понятия, передоказаны на основе реконструированного
понятия, то те стороны интуитивного понятия действительного числа,
которые успели проявить себя в математической практике, в
реконструкции отражены.
Но, быть может, некоторые стороны интуитивного понятия еще не
проявили себя, но могут проявить в будущем? Оспаривать такое
предположение, казалось бы, очень трудно. В самом деле, допустим, что
так оно и случится: явится через 100 лет математик X и докажет новую
теорему математического анализа, используя свойство действительных
чисел, которое ранее никто не использовал (т.е. оно себя в
математической практике никак не проявляло). И тогда все сразу
согласятся, что это неотъемлемое свойство действительных чисел? И что
оно подразумевалось и 100 лет назад? Последнее во всяком случае уже
нельзя будет проверить ; никто из ныне живущих математиков до
открытия X не доживет! Другими словами, предполагать, что в
интуитивных математических понятиях скрыты какие-то аспекты,
20
которые очень долго не проявляют себя на практике ("на бумаге"), ; это
все тот же математический платонизм, считающий мир математических
объектов существующим независимо от рассуждений математиков.
В ряде случаев дополнительным аргументом в пользу совпадения
интуитивных понятий и их реконструкций оказывается построение
нескольких принципиально различных, но эквивалентных
реконструкций. Так, при уточнении понятия действительного числа в
1870-х гг. Г. Кантор определял действительные числа как сходящиеся
последовательности рациональных чисел, Р. Дедекинд ; как "сечения" во
множестве рациональных чисел. Можно строго доказать эквивалентность
этих реконструкций.
Другим впечатляющим примером является уточнение (казалось
бы, весьма неопределенного) интуитивного понятия вычислимости (или
понятия алгоритма). Начиная с 1930-х гг. было предложено множество
различающихся по форме уточнений понятия алгоритма: рекурсивные
функции, машины Тьюринга, лямбда-исчисление А. Черча, канонические
системы Э. Поста, нормальные алгорифмы А. А. Маркова и др. И во всех
случаях была строго доказана эквивалентность этих уточнений.
Эквивалентность различных реконструкций одного интуитивного
понятия свидетельствует, что объем реконструированных понятий не
является случайным. Это очень важный аргумент в пользу замены
интуитивного понятия реконструкцией.
Тенденция перехода от интуитивных понятий к более или менее
явным их реконструкциям в истории математики проявляется достаточно
четко. Интуитивные теории не могут развиваться без этих
реконструкций: усложнение понятий и методов приводит к
необходимости их явной реконструкции просто для обеспечения
нормального развития теории. В большинстве случаев реконструкция
выполняется генетическим методом, а когда дело касается
фундаментальных математических понятий (например, понятия
множества) ; аксиоматическим методом (фундаментальные понятия
потому и фундаментальны, что их нельзя "генетически" свести к другим
понятиям).
Теорема К. Геделя о неполноте (см. раздел 5.3) породила
множество рассуждений о том, что аксиоматический метод недостаточен
для реконструкции "живого, содержательного" математического
мышления. Аксиоматику сравнивали с прокрустовым ложем, которое не в
состоянии вместить все богатство содержательной математики. Это
рецидив платонизма. Разве могут в математике какие-либо доказательные
рассуждения происходить иначе, как по схеме "посылки ; заключение"?
Если так и всякое математическое рассуждение сводится к цепи
21
заключений, то можно спросить: эти заключения происходят по
определенным правилам (т.е таким, которые не меняются от одного
случая к другому и от одного математика к другому)? И если правила
являются определенными, то, будучи функцией человеческого мозга,
могут ли они быть такими, что их нельзя никак явно сформулировать?
Если какие-либо "правила" нельзя явно сформулировать, то,
следовательно, нельзя доказать их определенность! Ну, а полагать, что в
математике кроме рассуждений (по определенным правилам) имеются
"объекты", существующие независимо от этих рассуждений, означает
впасть в обыкновенный платонизм работающего математика.
Таким образом, преждевременно говорить об ограниченности
аксиоматизации ; границы ее применимости, по-видимому, совпадают с
границами применимости самой математики (см. раздел 6.1).
В процессе развития математических теорий аксиоматизация и
интуиция взаимодействуют. Аксиоматизация "проясняет" интуицию,
когда та "запуталась в себе". Но аксиоматизация влечет за собой и
неприятные последствия: многие рассуждения, которые в интуитивной
теории опытный специалист проводит очень быстро и представляет
компактно, в аксиоматической теории оказываются очень громоздкими.
Поэтому после замены интуитивной теории аксиоматической (особенно
если эта замена неэквивалентна по причине недостатков интуитивной
теории) специалисты развивают новую интуицию, которая
восстанавливает способность теории к творческому развитию. Пример
тому ; история аксиоматизации теории множеств. Когда в интуитивной
теории множеств Кантора в 1890-х гг. были обнаружены противоречия,
от них удалось избавиться путем аксиоматизации. Естественно, что
созданная аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля
отличалась от интуитивной теории Кантора не только формой, но и
отдельными аспектами содержания. Для работы в новой теории
специалисты развили модифицированную интуицию (в том числе особую
интуицию множеств и классов). Ныне вполне нормальной считается
работа в теории Цермело-Френкеля на интуитивном уровне. Именно на
таком уровне доказываются серьезные новые теоремы этой теории.
Какую пользу дает аксиоматизация?
Во-первых, аксиоматизация позволяет "подправить" интуицию:
устранить неточности, двусмысленности и парадоксы, которые иногда
возникают из-за неполной контролируемости бессознательных
процессов. Самый впечатляющий пример ; историю аксиоматизации
теории множеств, мы только что отметили.
Во-вторых, аксиоматизация позволяет подвергнуть подробному
исследованию отношения между принципами теории (прежде всего
22
установить их зависимость или независимость), а также между этими
принципами и теоремами теории. Для доказательства конкретной
теоремы иногда требуются не все аксиомы теории, а только их часть.
Исследования такого рода могут привести к созданию более общих
теорий, которые применимы в различных конкретных теориях.
Характерными примерами являются теория групп и многочисленные ее
алгебраические ответвления.
В-третьих, нередко после аксиоматизации удается установить
недостаточность данной теории для решения отдельных проблем,
естественно возникающих в ней. Именно так произошло с континуум-
проблемой в теории множеств. В таких случаях можно ставить вопрос о
необходимости совершенствования системы аксиом теории, о развитии
альтернативных вариантов теории и т.д.