Математическое открытие

               Математическое открытие
        Открытие - это что-то из феномена видения. Есть нечто, чего никто не видит, но которое тем не менее существует и должно быть рано или поздно открыто, но почему-то осталось не открытым до сих пор, что даже не удивительно, а буквально необъяснимо. Кто-то впервые увидел и пытается "открыть Вам глаза", но Вы сопротивляетесь, откровенно отказываетесь это видеть...
        О таком явлении и пойдёт тут речь. Мне повезло - я увидел! Что же я увидел? Я записал таблицу логической связки XOR для двузначных переменных:
  00  01  10 11
  01  00  11 10
  10  11  00 01
  11  10  01 00
 и неожиданно увидел, что, если в ней заменить: 00 - на 1, 01 - на i, 10 - на j, 11 - на k, то получится таблица умножения кватернионов, без знаков, однако!
  1  i  j  k
  i  1  k  j
  j  k  1  i
  k  j  i  1
 Что такое знаки? Вообще говоря, это какие-то метки, с которыми следует разобраться... Заполнил таблицу той же самой логической связки XOR для трёхзначных переменных:

000 001 010 011 100 101 110 111
001 000 011 010 101 100 111 110
010 011 000 001 110 111 100 101
011 010 001 000 111 110 101 100
100 101 110 111 000 001 010 011
101 100 111 110 001 000 011 010
110 111 100 101 010 011 000 001
111 110 101 100 011 010 001 000

Повторил эксперимент, заменив:
 000 - на 1, 001 - на i, 010 - на j, 011 - на k,
 100 - на l, 101 - на m, 110 - на n, 111 - на o,
 и получил таблицу:

1 i j k l m n o
i 1 k j m l o n
j k 1 i n o l m
k j i 1 o n m l
l m n o 1 i j k
m l o n i 1 k j
n o l m j k 1 i
o n m l k j i 1

грубо говоря, всем известную таблицу умножения октонионов, без знаков!
        Глаза у меня, можно сказать, открылись, а если по честному, просто вылезли на лоб, потому что я это вижу, а больше - никто! Это же - открытие! Что оно выражает? Прежде всего оно отражает какие-то свойства плоскости! Однако к геометрии это не относится, к физике - тоже... Похоже, что это какая-то ветвь теории множеств, которую следует изучать.
        Но не заполнять же всё время эти безграничные простыни нулями и единицами, чтобы потом заменять двоичные коды буквами или именами... Присмотрелся и увидел, что обе таблицы заполняются крестами и диагоналями подобно британскому флагу. Звучит дико, но, оказывается, содержание XOR таблицы полностью определяется её рамочкой и легко запоминающимися правилами заполнения.
    Рамочка
 1  i  j  k
 i -1  _  j
 j  _ -1 -i
 k -j  i -1
 определяет кватернион
   Рамочка
1 i j k l m n o
i-1 _ _ _ _ _ n
j _-1 _ _ _ _ m
k _ _-1 _ _ _ l
l _ _ _-1 _ _ k
m _ _ _ _-1 _ j
n _ _ _ _ _-1 i
o n m l k j i-1
 определяет октонион. Похоже, здесь мы имеем дело с какой-то граничной задачей теории множеств. А это уже очень серьёзная формулировка, в свете которой так и хочется обратиться, к самым величайшим математикам нашей планеты с самой знаменитой фразой Михаила Жванецкого: "Ну и дураки же вы все!" Обиделись? Совершенно напрасно, давайте лучше разберёмся. Множество всех множеств не существует - объект внутренне противоречив, но что-то же "из этой оперы" существовать должно. На откровенно детский вопрос: "А что могло бы произойти"? Взрослые обычно с глубокомысленным видом отвечают: "Да всё, что угодно". Извините, но это - не игра слов, "все, что угодно" это не "множество всех множеств, а только "угодная" его часть. Если это множество, то множество всех его частей - тоже множество, кстати, очень даже большое. Похоже, что вот это самое "всё что угодно" всё таки существует, следовательно, его надо изучать.
        Есть 1, 2, "два в степени эн", "счётное множество", "два в степени счётное множество" и т.д. Почему сама мысль, что вот это самое "всё, что угодно" могло бы содержаться в этом ряду, "встречается в штыки"? Согласно биному Ньютона "два в степени n" - это сумма всех подмножеств множества, состоящего из n элементов. Всякое множество подмножеств замкнуто относительно логической операции XOR, определённой на таких множествах, где число элементов именно "два в степени n". Кстати, все XOR-таблицы, широко применяемые в шифровальных системах, заполняются чрезвычайно просто, отправляясь от незаполненной рамки.
Шаг первый. Заполняется шаблон
1 i j k l m n o
i-1 _ _ _ _ o n
j _-1 _ _ o _ m
k _ _-1 o _ _ l
l _ _ o-1 _ _ k
m _ o _ _-1 _ j
n o _ _ _ _-1 i
o n m l k j i-1
Шаг второй. Заполняется строка l от буквы "o", как аналог самого верхнего угла "o" самой рамки - влево буквами: o, n, m, l, k, j, i. Три последние, оказавшиеся за границами "рамочки", заталкиваются в ту же самую строку с другой стороны
1 i j k l m n o
i-1 _ _ _ _ o n
j _-1 _ _ o _ m
k _ _-1 o _ _ l
l m n o-1 i j k
m _ o _ _-1 _ j
n o _ _ _ _-1 i
o n m l k j i-1.
Шаг третий. От той же самой буквы "o" заполняется столбец последним столбцом рамки: от "o" вниз: n, m, l, k, j, i (оказавшиеся за нижней границей рамки буквы заталкиваются сверху в тот же самый столбец).
1 i j k l m n o
i-1 _ j _ _ o n
j _-1 i _ o _ m
k _ _-1 o _ _ l
l m n o-1 i j k
m _ o n _-1 _ j
n o _ m _ _-1 i
o n m l k j i-1
Шаг четвёртый. Делаем то же самое с противоположным углом "o" шаблона. Заполняется k-строка - от точки "o" вправо: n, m, l, k, i, j (аналогично, заполняется l-столбец вверх: n, m, l, k, i, j)
1 i j k l m n o
i-1 _ j n _ o n
j _-1 i m o _ m
k j i-1 o n m l
l m n o-1 i j k
m _ o n i-1 _ j
n o _ m j _ -1 i
o n m l k j i-1
Шаг пятый.  Заполняются четыре диагонали. Первая и четвёртая четверти: k,k. Вторая и третья четверти: l,l. 
1 i j k l m n o
i-1 k j m l o n
j k-1 i n o l m
k j i-1 o n m l
l m n o-1 i j k
m l o n i-1 k j
n o l m j k-1 i
o n m l k j i-1  Всё! Можно проверять, получился октонион, в котором всего только не расставлены знаки.

       +1 +i +j +k +l +m +n +o
       +i -1 +k -j -m +l -o +n
       +j -k -1 +i -n +o +l -m
       +k +j -i -1 -o -n +m +l
       +l +m +n +o -1 -i -j -k
       +m -l -o +n +i -1 -k +j
       +n +o -l -m +j +k -1 -i
       +o -n +m -l +k -j +i -1, а это октонион из "Математической энциклопедии", том 3, в котором знаки расставлены.

        Суть проблемы очевидна. У нас есть переменные - их 2 в степени n. Если мы к ним добавляем знак, то переменных становится в два раза больше, а в таблице Кэли их столько же сколько было, те же самые переменные, та же самая таблица, в которой всего только знаки расставлены. И всё! Почти 200 лет прошло, а четырёх разрядной XOR таблицы с расставленными в ней знаками никто так и не предложил, хотя величайшие умы пытались справиться с этой головоломкой!
        Мне повезло, я увидел, что её можно решить "в лоб", просто отправившись от рамки
+1 +i +j +k +l +m +n +o
+i -1  _  _  _  _  _ +n
+j  _ -1  _  _  _  _ -m
+k  _  _ -1  _  _  _ +l
+l  _  _  o -1  _  _ -k
+m  _  _  _  _ -1  _ +j
+n  _  _  _  _  _ -1 -i
+o -n +m -l +k -j +i -1  и заполняя соответствующую ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ как самую обычную XOR таблицу, правила заполнения пришлось чуть-чуть ужесточить. Эти правила просты, их удалось наглядно представить при помощи рисунка (см. рис.).
         Заполнение таблицы умножения начинаем зелёными чернилами от буквы "o", расположенной внутри рамки, именно так как записано в правом верхнем углу рамки (имена, оказавшиеся за границами рамки имеют красный цвет, те знаки, которые портят рамку, написаны другим цветом, их надо исправлять). Следующий шаг - мы отражаем "зелёно-красный крест от главной диагонали со сменой знака на противоположный и получаем второй крест, окрашенный в синий цвет.
+1 +i +j +k +l +m +n +o
+i -1  _ -j -m  _  _ +n
+j  _ -1 +i -n  _  _ -m
+k +j -i -1 -o -n +m +l
+l +m +n +o -1 -i -j -k
+m  _  _ +n +i -1  _ +j
+n  _  _ -m +j  _ -1 -i
+o -n +m -l +k -j +i -1   Всё! Таблица заполнена! Остальные 12 полей заполняются в ручном режиме.

       Столбец +m. В этом столбце 4 элемента имеют знак "-", следовательно 3 незаполненные имеют знак "+". Отражаем их от главной диагонали и заполняем ещё 3 поля знаком "-"
+1 +i +j +k +l +m +n +o
+i -1  _ -j -m +l  _ +n
+j  _ -1 +i -n +o  _ -m
+k +j -i -1 -o -n +m +l
+l +m +n +o -1 -i -j -k
+m -l -o +n +i -1 -k +j
+n  _  _ -m +j +k -1 -i
+o -n +m -l +k -j +i -1
       Неувязочка вышла - таблица дальше не заполняется! В каждой строке и в каждом столбце: три элемента со знаком "+" и три элемента со знаком "-". Вот таким нахальным образом таблица объявляет нам, что существуют два октониона "правый" и "левый". Сама она больше ничем нам не может помочь, потому что они равноправны! Кватернион Гамильтона - правый, поэтому октонион
+1 +i +j +k +l +m +n +o
+i -1  k -j -m +l -o +n
+j -k -1 +i -n +o +l -m
+k +j -i -1 -o -n +m +l
+l +m +n +o -1 -i -j -k
+m -l -o +n +i -1 -k +j
+n +o -l -m +j +k -1 -i
+o -n +m -l +k -j +i -1
 является правым, тогда как другой октонион,

+1 +i +j +k +l +m +n +o
+i -1 -k -j -m +l +o +n
+j +k -1 +i -n +o -l -m
+k +j -i -1 -o -n +m +l
+l +m +n +o -1 -i -j -k
+m -l -o +n +i -1 -k +j
+n -o +l -m +j +k -1 -i
+o -n +m -l +k -j +i -1
 наоборот, является левым.
        Проблем с остальными пока не видно. Процессы их заполнения буду публиковать не в "Докладах Академии Наук", а на Проза.ру.