Гиперкомплексные - это просто

        Гиперкомплексные - это просто

        Для большинства из нас уже комплексные числа покруче "бинома Ньютона" будут, а тут гиперкомплексные, одним словом, - "мрак". Однако всё не так сложно, как кажется. Все знают, что из ниток при помощи крючка можно всё, что угодно, связать - высшая математика для этого не требуется. Вязание "крючком" или "на спицах" - это, разумеется, технологическая революция в истории человечества, которая свелась в конце концов к тривиальным правилам, которые надо знать. Гиперкомплексные числа - это тоже самое, только тут "нитка" - это натуральный ряд. Нитка бесконечная, из которой тоже можно связать всё, что угодно - правила надо знать, когда они тривиальные, непостижимая истина становится очевидной.
        Начнём с в кватерниона
+1 +i +j +k
+i  -1 +k  -j
+j  -k  -1 +i
+k +j  -i  -1
Запомнить эту паутину невозможно! А ведь ей надо ещё пользоваться... Но это не совсем так, потому что запоминать ничего не надо! Начнем с заполнения этой таблицы буквами. Шаг первый. заполняем угол

+1 +i +j +k
+i
+j
+k

Шаг второй. Заполняем рамку.

+1 +i +j +k
+i __ __  -j
+j __ __ +i
+k +j  -i  -1

Шаг третий. Заполняем главную диагональ.

+1 +i +j +k
+i  -1 __  -j
+j __  -1 +i
+k +j  -i  -1

Шаг четвёртый. заполняем второй столбец. Начало уже заполнено: -1, +i, значит, это последний столбец: -1, +i, -j, +k. Ввиду того, что два элемента сверху вышли за границы рамки их "крючком" приходится вставлять с противоположной стороны того же самого столбца, поэтому их знак меняется на противоположный

+1 +i +j +k
+i  -1 __  -j
+j  -k  -1 +i
+k +j  -i  -1

Впрочем, есть и другое правило: в трёх последних столбца и трёх последних строках число положительных знаков равно числу отрицательных, а буквы не повторяются, следовательно, в последней незаполненной клеточке должно стоять "+k".
        И что же мы получили? Очень похоже на то, что это таблица истинностных значений четырёхзначной логики, в которой "+1" - истина и три полулжи "i", "j", "k". Как это понимать? Представьте себе "маленькую державу", в которой 1 казна и 3 министерства: Обороны, Сельского хозяйства и Промышленности. Основная их проблема - деление бюджета (ему соответствует "+1"). Каждый предлагает свой вариант будущего, то есть какую-то полуложь. Таблица умножения - это результат взаимодействия полулжей. Когда двое вступают в заговор, то он всегда касается интересов третьего и в зависимости от того, кто является инициатором сговора, он приносит третьей стороне либо выгоду либо - наоборот. Заговор внутри - это всегда убыток.
        Что-то похожее происходило в Раю. "И заповедал Господь Бог человеку, говоря: от всякого дерева в саду ты будешь есть, а от дерева познания добра и зла не ешь от него, ибо в день, в который ты вкусишь от него, смертью умрёшь. И сказал Господь Бог: не хорошо быть человеку одному, сотворим ему помощника". Возникает ощущение, что Адам "достал" Господа Бога своими "почему да зачем".
        Их стало четверо бессмертных: Господь Бог, Говорящий змей, Адам и Ева. И вроде бы все они поступали правильно, кроме Адама, которому было завещано не есть, а он ел. А смертным стал не только Адам, но и Ева, и даже Говорящий змей, которого теперь человек может убить.
        К чему я всё это вспомнил? Четырёхзначная логика существует, но мы её не знаем, более того, и знать не хотим, несмотря на то, что четырёхзначная жизнь буквально ломится в наши двери. Юань, рупия, доллар, евро становятся основными игроками рая, в котором мы ещё совсем недавно жили. Яблоко тоже имеется и тоже непонятно, чего в нем больше добра или зла. Евро исчезает - за ним никого нет. Доллар накрывается медным тазом. Чем станут США: второй Канадой или второй Мексикой?

Но кватернионы - это не финал. Существует прототип восьмизначной логики, таблица умножения полулжей, которую назвали октонионом.

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
+1  -0 +3  -2  -5 +4  -7 +6
+2  -3  -0 +1  -6 +7 +4  -5
+3 +2  -1  -0  -7  -6 +5 +4
+4 +5 +6 +7  -0  -1  -2  -3
+5  -4  -7 +6 +1  -0  -3 +2
+6 +7  -4  -5 +2 +3  -0  -1
+7  -6 +5  -4 +3  -2 +1  -0

        Ввиду того, что этой логикой будут владеть наши внуки, отнесёмся к ней с большим уважением. Вначале научимся таблицу имён заполнять, а знаками займёмся чуть позже. Если мы в кватернионе отбросим знаки и заменим "1" на "00", "i" на "01", "j" на "10", "k" на "11", то получим таблицу

+1 +i +j +k    00 01 10 11
+i  -1 +k  -j    01 00 11 10
+j  -k  -1 +i    10 11 00 01
+k +j  -i  -1    11 10 01 00, являющуюся таблицей значений логической связки XOR, широко используемой в криптографии

        Если мы в кватернионе отбросим знаки и заменим:
0 на 000, 1 на 001, 2 на 010, 3 на 011,
4 на 100, 5 на 101, 6 на 110, 7 на 111 то таблица умножения 8 имён октониона

+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7    000 001 010 011 100 101 110 111
+1  -0 +3  -2  -5 +4  -7 +6    001 000 011 010 101 100 111 110
+2  -3  -0 +1  -6 +7 +4  -5    010 011 000 001 110 111 100 101
+3 +2  -1  -0  -7  -6 +5 +4    011 010 001 000 111 110 101 100
+4 +5 +6 +7  -0  -1  -2  -3    100 101 110 111 000 001 010 011
+5  -4  -7 +6 +1  -0  -3 +2    101 100 111 110 001 000 011 010
+6 +7  -4  -5 +2 +3  -0  -1    110 111 100 101 010 011 000 001
+7  -6 +5  -4 +3  -2 +1  -0    111 110 101 100 011 010 001 000,  превратится в таблицу трехзначной логической связки XOR

Логическая связка XOR(x,y) при любом "y" осуществляет взаимно однозначное отображение множества своих значений на себя, поэтому она определена на множествах из 1, 2, 4, 8, 16 -"два в степени эн" элементов. Заменяя 000 на "а", 001 на "б", 010 на "в", 011 на "г", 100 на "д", 101 на "е", 110 на "ё", 111 на "ж" получаем XOR-таблицу на буквах русского алфавита. Я далёк от намерения предложить вам отыскивать, чем следует заменить двоичный код, а предлагаю вам сыграть в очень простую игру, для игры в которую нужно всего на всего знать  только русский алфавит в пределах первых восьми букв. Шаг первый, заполняем рамку. Внутри рамки отчётливо виден "островок и букв "а" и "ж". От "а" начинаем заполнять алфавит, а в "ж" заканчиваем. Всего будет заполнено 4 алфавита. Первый - от "а" вверх до "г", из "г" переходим в "д" и далее вниз до "ж". Двигаясь по часовой стрелке, переходим к следующей букве "а" и заполняем правую часть "креста".

а б в г д  е ё ж    а б в  г д  е ё ж    а б в  г д  е ё ж
б а _ _ _ _ ж ё    б а _  в е  _ ж ё    б а _  в е  _ ж ё
в _ а _ _ ж _ е    в _ а  б ё  ж _ е    в _ а  б ё  ж _ е
г _ _ а ж _ _ д    г _ _  а ж  _ _ д    г _ _  а ж  ё е д
д _ _ ж а _ _ г    д _ _  ж а  _ _ г    д _ _  ж а  б в г
е _ ж _ _ а _ в    е _ ж  _ _  а _ в    е _ ж  _ _  а _ в
ё ж _ _ _ _ а б    ё ж _  _ _  _ а б    ё ж _  _ _  _ а б
ж ё е д г в б а    ж ё  е  д г  в б а    ж ё е  д г  в б а

Затем заполняем алфавитом нижнюю часть креста, и, наконец, левую часть креста. Остались незаполненными 4 диагонали из букв "г" и "д". Заполняем их - всё!

а б в   г д  е ё ж    а б в  г д  е ё ж    а б в г д е ё ж
б а _  в е  _ ж ё    б а _  в е  _ ж ё    б а г в е д ж ё
в _ а  б ё  ж _ е    в _ а  б ё  ж _ е    в г а б ё ж д е
г _ _  а ж  ё е д    г в б  а ж  ё е д    г в б а ж ё е д
д _ _  ж а  б в г    д е ё  ж а  б в г    д е ё ж а б в г
е _ ж  ё б  а _ в    е _ ж  ё б  а _ в    е д ж ё б а г в
ё ж _  е в  _ а б    ё ж _  е в  _ а б    ё ж д е в г а б
ж ё е  д г  в б а    ж ё  е  д г  в б а    ж ё е д г в б а

Отчётливо виден и другой способ заполнения, при котором таблица заполняется полными столбцами и строками.

а б в  г д е ё ж    а б в  г  д е ё ж    а б в  г д  е ё ж
б а _ _ _ _ ж ё    б а _  в  _ _ ж ё    б а _  в е  _ ж ё
в _ а _ _ ж _ е    в _ а  б  _ ж _ е    в _ а  б ё  ж _ е
г _ _ а ж _ _ д    г _ _  а  ж _ _ д    г _ _  а ж  _ _ д
д _ _ ж а _ _ г    д _ _  ж  а _ _ г    д _ _  ж а  _ _ г
е _ ж _ _ а _ в    е _ ж  ё  _ а _ в    е _ ж  ё б  а _ в
ё ж _ _ _ _ а б    ё ж _  е  _ _ а б    ё ж _  е в  _ а б
ж ё е  д г в б а    ж ё е   д  г в б а    ж ё е   д г  в б а

а б в  г д е ё ж    а б в г д е ё ж    а б в г д е ё ж
б а _ в е _ ж ё    б а _ в е _ ж ё    б а г в е д ж ё
в _ а б ё ж _ е    в _ а б ё ж _ е    в г а б ё ж д е
г _ _ а ж _ _ д    г в б а ж ё е д    г в б а ж ё е д
д е ё ж а б в г    д е ё ж а б в г    д е ё ж а б в г
е _ ж ё б а _ в    е _ ж ё б а _ в    е д ж ё б а г в
ё ж _ е в _ а б    ё ж _ е в _ а б    ё ж д е в г а б
ж ё е  д г в б а    ж ё е д г в б а    ж ё е д г в б а

Для закрепления пройденного заполним 16 разрядную XOR таблицу. Заполним "рамку", "диагонали", 1 столбец, 1 строку (затем ещё столбец и строку)

0 1 2 3 4 5 6  7 8 9 A B C D E F    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1 0 _ _ _ _ _  6 _ _ _ _ _ _ F E    1 0 _ _ _ _ _  6 9 _ _ _ _ _ F E
2 _ 0 _ _ _ _  5 _ _ _ _ _ F _ D    2 _ 0 _ _ _ _  5 A _ _ _ _ F _ D
3 _ _ 0 _ _ _  4 _ _ _ _ F _ _ C    3 _ _ 0 _ _ _  4 B _ _ _ F _ _ C
4 _ _ _ 0 _ _  3 _ _ _ F _ _ _ B    4 _ _ _ 0 _ _  3 C _ _ F _ _ _ B
5 _ _ _ _ 0 _  2 _ _ F _ _ _ _ A    5 _ _ _ _ 0 _  2 D _ F _ _ _ _ A
6 _ _ _ _ _ 0  1 _ F _ _ _ _ _ 9    6 _ _ _ _ _ 0  1 E F _ _ _ _ _ 9
7 _ _ _ _ _ _  0 F _ _ _ _ _ _ 8    7 6 5 4 3 2 1  0 F E D C B A 9 8
8 9 A B C D E F  0 1 2 3 4 5 6 7    8 9 A B C D E  F 0 1 2 3 4 5 6 7
9 _ _ _ _ _ F   E _ 0 _ _ _ _ _ 6    9 _ _ _ _ _ F  E 1 0 _ _ _ _ _ 6
A _ _ _ _ F _  D _ _ 0 _ _ _ _ 5    A _ _ _ _ F _  D 2 _ 0 _ _ _ _ 5
B _ _ _ F _ _  C _ _ _ 0 _ _ _ 4    B _ _ _ F _ _  C 3 _ _ 0 _ _ _ 4
C _ _ F _ _ _  B _ _ _ _ 0 _ _ 3    C _ _ F _ _ _  B 4 _ _ _ 0 _ _ 3
D _ F  _ _ _    A _ _ _ _ _  0 _ 2    D _ F _ _ _ _  A 5 _ _ _ _ 0 _ 2
E F _ _ _ _ _   9  _ _ _ _ _ _ 0 1    E F _ _ _ _ _  9 6 _ _ _ _ _ 0 1
F E D C B A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0    F E D C B A 9  8 7 6 5 4 3 2 1 0

В результате получили 4 рамки 8х8, заполнять которые уже научились.
        С именами мы разобрались, XOR таблицы можно расширять до бесконечности. Не совсем ясно, как быть со знаками? Суть проблемы, в принципе, ясна, находящуюся перед вами XOR таблицу 16х16, надо сжать до таблицы 8х8 и не потерять информации. Действительно, таблица умножения работает с именами, обладающими знаком, формально, это XOR таблица, работающая с двойным набором имён, то есть с таблицей, в которой в 2 раза больше имён, площадь которой поэтому в 4 раза больше, а затолкнуть всё это надо в обычную таблицу. Половину площади мы отыграем за счёт введения антикоммутативности, но ведь этого "маловато будет" надо ещё половину как-то отыграть. Значит, надо очень внимательно проследить переход от кватерниона к октониону, чтобы выяснить, можно ли его аккуратно выразить в терминах заполнения рамки.

                Диксон: октонион - это двойной кватернион
        Перепишем 8 имён октониона в виде двух наборов имен кватерниона черного и красного цвета (см. рис.), снова восемь различающихся имён - "имеем право".
 Однако теперь отчётливо видно, что эта картинка реализует основную идею Диксона, обобщая и упрощая её одновременно, потому что теперь её выражают три очевидные соотношения (по одному на каждую из трёх новых рамок):
            Color(x)*y = -x*Color(y),
            Color(x)*y = -Color(x*y),
            Color(x)*Color(y) = -x*y, - в которых суть рецепта Диксона, как следует сжимать таблицу со знаками 16 на 16 до таблицы 8 на 8.
        В общем случае, путём введения цвета, расширяем список имён в два раза, заполняем таблицу именами. Пользуясь первой четвертью, уже заполненной знаками и тремя соотношениями Диксона, заполняем знаками таблицы трёх цветных рамок. Обесцвечиваем их прибавлением к их именам минимальное число, при котором все цветные имена не пересекаются с бесцветными и итерация заполнения закончена.
        Формально на рисунке изображены три таблицы. Самая первая 2х2 реализует двумерный случай, на самом конце главной диагонали которого "висят чёрные +3 и -3". На конце главной диагонали четырёхмерного случая "висят красные +3 и -3", а на конце главной диагонали восьмимерного случая - зелёные +F и -F. Это какая-то симметрия, не знаю, как она называется (чередование знаков букв алфавита в рамке тоже начинается по очереди, то с нижнего конца вспомогательной диагонали, то - с верхнего).
        Вчера ещё не знал, а сегодня уже знаю - это альтернативная рамочная симметрия. Если от неё ничего не зависит, то она обладает такой же силой, что и зеркальная симметрия, которую, в свою очередь, можно называть электромагнитной, но если от неё что-то зависит, то это более слабая симметрия, относящаяся к тем видам симметрии, которые мы традиционно связываем со свободой выбора.