Парадоксы и их решение. Софизмы и апории

Более двух тысяч лет в традиционной логике существует проблема логических парадоксов, неразрешимых с точки зрения этой традиционной логики противоречий. Однако, с точки зрения системной логики проблемы парадоксов вообще не существует. Все так называемые «парадоксы» - это нарушение, невольное или сознательное, тех или иных законов системной логики, другим словом, софизмы.

Возьмём, к примеру, закон системной логики «Объект не может вступать в отношения сам с собой». Как сказано в общей теории, любое отношение определяется через объекты, которые в него вступают. То есть, этих объектов должно быть как минимум два. Любая система насчитывает как минимум два объекта и одно отношение между ними. Не существует отношения объекта к самому себе. Это означает, что объект не может состоять из самого себя, включать сам себя, пересекаться сам с собой, существовать в одно время с собой, являться исходным или производным для самого себя.

Типичным нарушением этого закона является апория Эвбулида, в самом кратком виде звучащая как «Я лгу». Внешне всё представляется следующим образом. Если эта фраза истинна, то по его содержанию она ложна, если фраза ложна, то следует, что ложно, что она ложна, то есть, наоборот, истинна. Однако, в системной логике любой объект, в том числе и суждение, не может относится к самому себе. Фраза «Я лгу» не может относится к самой себе, как, впрочем, и фраза «Я говорю правду», даже если нет видимых логических противоречий. Ничего не изменится, если мы расширим данную фразу до «Я всегда лгу». В этом случае мы сможем отнести её к остальным фразам, но всё так же не можем отнести её к самой себе. Аналогично мы не можем отнести к самой себе и фразу «Я всегда говорю правду».

Вариант данного парадокса: «Всякое высказывание ложно».

Другой вариант данного парадокса: «Множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента».

Существует несколько вариантов псевдопарадоксов, внешне напоминающих этот парадокс. Например, «Я всегда молчу», «Я сейчас сплю», «Я совсем не знаю русский язык», «Я знаю, что ничего не знаю» и тому подобное. В этом случае, даже при соблюдении всех логических законов, то есть, не относя фразу к самой себе, мы, произнося её, самим фактом произнесения доказываем ложность её содержания. Но здесь нет противоречия. Здесь нет «содержания, опровергающего содержание», здесь есть «форма, опровергающая содержание», а форма и содержание — это уже логически разные объекты.

Существуют и другие варианты псевдопарадоксов, внешне напоминающих этот парадокс. Например, «фраза из четырёх слов». Несмотря на кажущееся совпадение, она не может относится к самой себе. В данном случае мы можем высказать такое суждение: «Фраза из четырёх слов» - фраза из четырёх слов. Здесь первая часть суждения – обозначение определяемого объекта, а именно звукового или графического потока слов, вторая – обозначение определяющего объекта, а именно понятия, которому соответствует первый объект. Ситуация немного запутывается тем, что мы используем практически одни и те же слова для обозначения разных объектов. В данном случае ситуацию немного спасает использование кавычек.

Следует отметить, что существует множество ситуаций, которые могут быть восприняты как отношение объекта к самому себе, хотя логически там нет никакого отношения объекта к самому себе. Например, «Дом строится». Понятно, что дом не сам себя строит, а его кто-то строит. Или «Мы умываемся». Скорее всего, во-первых, мы используем для этого воду и мыло, во-вторых, мы моем руками лицо, левой рукой правую руку, правой рукой левую руку, то есть ни одна часть нашего тела сама себя не моет. Аналогично: «Я вижу себя». Наши глаза могут видеть наши руки и ноги, но не самих себя. Даже если мы подойдём к зеркалу, мы не увидим свои глаза, а лишь их отражение, а это разные объекты. Во всех этих случаях мы имеем дело с логическими обобщениями отношений между разными объектами в рамках одной системы. Здесь нет ни парадоксов, ни псевдопарадоксов.

Другой закон системной логики, часто нарушаемый в парадоксах: «Объект не может вступать с другим объектом в разные виды пространственных и пространственно-временных отношений в одно и то же время». Это означает, что один объект не может одновременно включать другой объект и входить в его состав, быть независимым от него и пересекаться с ним, быть исходным для него и производным одновременно.

Типичным нарушением этого закона является такой парадокс:

«Сказанное Платоном – ложно», - сказал Сократ.

«Сказанное Сократом – истина», - сказал Платон.

Внешне ход рассуждений здесь аналогичен первому парадоксу. Если Платон говорит правду, то Сократ говорит правду, говоря, что Платон лжёт. Если Платон лжёт, то Сократ лжёт, что Платон лжёт, то есть Платон говорит правду. Нарушение: любое высказывание рассматривается одновременно как исходное и производное для другого. Аналогично нарушением будет попытка рассмотреть одновременно как исходное и производное любое из следующей пары высказываний, даже если это и не ведёт к видимым противоречиям:

«Сказанное Платоном – правда», - сказал Сократ.

«Сказанное Сократом – правда», сказал Платон.

В любом случае мы должны выбрать, какое высказывание исходное, а какое производное, и производное никак не может быть исходным для первого исходного.

Одним из вариантов этого парадокса является парадокс о всемогуществе: «Способно ли всемогущее существо создать что-либо, что может ограничить его всемогущество?» Здесь мы имеем то же самое нарушение, усложнённое невозможностью выбора, что считать исходным, а что производным.

Ещё одним вариантом этого парадокса является парадокс о женщине, ребёнке и крокодиле.

Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на берегу реки, ее ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову слезу, ответил:

– Твое несчастье растрогало меня, и я дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам.

Подумав, мать ответила:

– Ты не отдашь мне ребенка.

– Ты его не получишь, – заключил крокодил. – Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, – правда, я не отдам его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное – неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам ребенка по уговору.

Однако матери это рассуждение не показалось убедительным.

– Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка, как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребенка, то ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною не будет неправдой.

Нарушение: предположение женщины и решение крокодила рассматриваются одновременно как исходные и производные друг для друга.

Другим вариантом этого парадокса является парадокс о Эватле и Протагоре.

У древнегреческого софиста Протагора учился софистике и в том числе судебному красноречию некий Эватл. По заключенному между ними договору Эватл должен был заплатить за обучение 10 тысяч драхм только в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. В случае проигрыша первого судебного дела он вообще не был обязан платить.
Однако, закончив обучение, Эватл не стал участвовать в судебных тяжбах. Как следствие, он считал себя свободным от уплаты за учебу. Это длилось довольно долго, терпение Протагора иссякло, и он сам подал на своего ученика в суд. Таким образом, должен был состояться первый судебный процесс Эватла.
Протагор привёл следующую аргументацию: «Каким бы ни было решение суда, Эватл должен будет заплатить. Он либо выиграет свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит по договору, если проиграет, заплатит по решению суда». Эватл возражал: «Ни в том, ни в другом случае я не должен платить. Если я выиграю, то я не должен платить по решению суда, если проиграю, то по договору». Нарушением здесь является то, решение и договор рассматриваются как исходные и производные друг для друга. Поскольку почти невозможно определиться, что же принять за исходное, а что за производное, нарушение нужно было снимать другим способом. Нужно было сразу оговорить, что договор не может быть предметом суда, или Протагору нужно было подать на Эватла в суд по другому, заранее проигрышному для первого поводу.

Часто встречаются варианты этого парадокса с увеличенным количеством высказываний, парадоксы с «петлёй времени» или «петлёй действительности», когда последнее высказывание зацикливается на первое.

Ещё одним типичным нарушением в парадоксах, а точнее – софизмах, является подмена понятий или изменение объёма понятия по ходу рассуждения. Возьмём, например, такой парадокс:

Совет одной деревни определил обязанности брадобрея: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относится к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, а, значит, он должен будет брить себя.

В обычном рассмотрении ситуации брадобрей исключается из системы «все мужчины деревни». В этом случае не возникает никаких противоречий. Одни бреются сами, других бреет он, должен ли он бриться сам или нет, не оговорено. Но что будет, если включить брадобрея в систему «все мужчины деревни»? С точки зрения традиционной логики возникает проблема, при детальном рассмотрении заключающаяся в запутывании самих себя. В чём же ошибка? Брадобрей сначала рассматривается отдельно ото всех, а потом по ходу рассуждения включается в число бреющих себя или не бреющих себя. Он или с самого начала должен рассматриваться как входящий в число бреющих себя или как входящий в число не бреющих себя, или же всегда рассматриваться отдельно.

Незаметная с первого раза подмена понятий – излюбленный приём в софизмах. Например, такой софизм. В семье двое детей и точно известно, что один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже мальчик? На первый взгляд, ответ вполне очевиден – 50 на 50, либо он действительно мальчик, либо девочка, шансы должны быть равными. Проблема в том, что для двухдетных семей существует четыре возможных комбинации – две девочки, два мальчика, старший мальчик и младшая девочка, старшая девочка и младший мальчик. Первую комбинацию можно исключить, так как один из детей совершенно точно мальчик, но в таком случае остаются три возможных варианта, а не два и вероятность того, что второй ребёнок тоже мальчик – один шанс из трёх.

Помимо софизмов, скрытых и явных, существует множество трудностей (апорий), вызванных нечётким определением понятий.

Например, апория о куче из песчинок. Если мы положим песчинку и будем прибавлять к ней по одной песчинке, когда множество песчинок станет кучей? Понятие «куча» сильно размыто, оно не определяется точным количеством песчинок, поэтому ответить однозначно на вопрос нельзя.

Аналогична апория о курином яйце и курице. Что в природе появилось раньше? Момент эволюции, когда курицу можно стало считать курицей, неясен, и поэтому точно ответить на этот вопрос сложно. Если бы мы точно знали, что момент отчёта – значимые генетические мутации в яйце, можно было сказать, что первым появилось яйцо. Если бы мы знали, что момент отсчёта – очень быстрые перемены в организме одной или нескольких особей, то можно было бы сказать, что первой появилась курица. В действительности как правило генетические мутации и приобретённые изменения носят постепенный, накопительный характер.

Интересна апория о корабле. Если заменить в корабле абсолютно все детали на новые, будет это новый корабль или всё ещё старый? С точки зрения системной логики любой объект можно рассматривать как систему, состоящую из более мелких объектов и отношений между ними и входящую в состав более крупных систем. Если мы будем учитывать бесконечное множество отношений объекта, мы каждое мгновение будем иметь дело с новым объектом. Можно даже ничего не менять в корабле, каждое мгновение это будет новый корабль, не тот, что был до этого. Но, как правило, мы рассматриваем ограниченное число важных для нас отношений, по которым мы и определяем объект. В случае с кораблём, если для нас прежде всего важна структура корабля, мы можем сказать, что корабль остался старым. Но если мы разберём корабль и из старых деталей построим корабль с новой структурой, для нас это будет новый корабль. Важной может быть и время постройки корабля и его принадлежность.

Существуют апории, вызванные неправильным истолкованием фактов. Например, апория о летящей стреле. «Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение». Ошибочно считать, что стрела покоится в каждое мгновение времени. На самом деле, в каждое отдельное мгновение мы не можем определить, движется стрела или нет. Это можно определить только по совокупности мгновений. Более того, даже если мы рассмотрим несколько разрозненных моментов времени, мы не сможем определить, движется стрела сама или нет, движется с постоянной скоростью или ускорением.

В некоторых апориях происходит простое переключение внимания на ничего не значащие факты, которые вызывают аналогию со значимыми фактами. Пример – апория об Ахиллесе и черепахе. «Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху». Здесь внимание переключается на постоянное деление расстояния на всё более мелкие отрезки, которое может быть бесконечным. Но это совсем не значит, что скорость движения Ахиллеса также будет уменьшаться, она от такого деления не меняется, даже если вас подталкивают к этой мысли.