В копилку системщика. Ч 7

На просторах ютуба гуляет простая на вид система:

x^2-y=73
y^2-x=73.

Тут одно решение прослеживается: x=y. Оно приводит к решению квадратного уравнения

x^2-x=73.

Тут и семиклассник справится. Но это далеко не полное рассмотрение задачи. Если вычесть их первой строки вторую, то будет иметь место квадратное уравнение, дающее еще две точки:

x^2+x+1=73

В итоге будем иметь четыре точки пересечения кривых-парабол. Частный случай при a=5 показан на рисунке. Видно, что имеет место пересечение двух ортогональных парабол. И действительно, - наблюдаем четыре точки пересечения. Если эти четыре точки представить математически, то задача будет полностью решена. Надо заметить: приведенный частный пример раскрывается долго и мучительно. Поэтому я решил все сделать в общем виде. В иллюстрации показана такая система. Тут приходится в решать два квадратных уравнения, что ниже стрелки под системой. В итоге были легко получены координаты всех четырех точек (1, 2, 3, 4)(справа от рисунка с параболами). У меня возник вопрос: а есть ли целочисленные решения? Расчеты по программе показали, что целочисленными координатами могут обладать точки 1 и 4. Причем значения "a" довольно просто описываются рекуррентным выражением

a(n)=n^2-n+1

это ряд: 1.3,7,13,21,31,43,57,73,91,111,... То есть последовательность A002061 (центральные полигональные числа). Как раз число из примера 73 тут присутствует. Если подставить  в общие формулы для точек 1 и 4, то получим целочисленные координаты (-9;8) и (8,-9). Точка же 2 также выражается целочисленно, но только при иных значениях "a": a(n)=n^2+n. Это ряд A002378  Однако точка 3 целочисленных координат вообще не имеет (просматривал "a" от 1 до 10 млн.).
Только что обнаружил удивительный частный случай, когда решений всего два. Но об этом - в следующей части.


22 апреля 2023 г.