Октонионов всего 64

Октонионов всего: 64

        Начну я естественно с кватернионов. Кватернион - это антисимметричная логическая связка XOR, обладающая таблицей умножения Гамильтона
          1  i   j  k
          i -1  k -j
          j -k -1  i
          k  j -i -1.
        Примитивная таблица умножения кватерниона была открыта мной сегодня и она имеет вид
         1  i   j  k
         i -1 -k -j
         j  k -1 -i
         k  j  i -1.
        Лемма 1. Таблица Гамильтона получается из примитивной, подстановкой "-j" вместо "j".
        Доказательство. Подставляя "-j" в строку "j" получаем
         1  i   j  k
         i -1  -k -j
      (-j) -k  1  i
         k  j   i  -1.  Подставляя "-j" вместо "j" в столбец, получаем результат

          1  i (-j)   k
          i -1   k  -j
       (-j) -k -1   i
          k  j  -i  -1. Лемма доказана.
        Теорема 1. Существуют всего 4 кватерниона: примитивный, правый Гамильтона, левый Гамильтона и отражение примитивного от главной диагонали.

        Преобразования таблицы умножения естественно распадаются на 2 класса: 1. Преобразования, касающиеся самой таблицы умножения, например, перестановка строк и столбцов, при которых таблица, сохраняя свою форму, переставляет только имена; 2. Преобразование геометрической основы, относительно которой составляется таблица.
        Ввиду того, что каждый единичный вектор принимает только значения + или - геометрическая основа таблицы имеет вид "2 в степени n"-мерного куба, центром которого является начало координат, длина ребра которого равна 2. Первая строка и первый столбец таблицы определяют вершину куба, на которой все единичные вектора принимают максимальное значение. Понятно, что остальные вершины геометрической основы ничем не хуже "максимальной" и тоже могут быть выбраны для фиксации этой же самой таблицы на бумаге, но теперь у них в списке первой строки (первого столбца) появятся переменные вида (-i), (-j), (-k).

        Октонионы - это антисимметричная логическая связка, примитивная таблица умножения которой имеет вид
        1  i  j  k  l  m  n  o
        i -1 -k -j -m -l -o -n
        j  k -1 -i -n -o -l -m
        k  j  i -1 -o -n -m -l
        l  m  n  o -1 -i -j -k
        m  l  o  n  i -1 -k -j
        n  o  l  m  j  k -1 -i
        o  n  m  l  k  j  i -1
        Таблица умножения октонионов (из Интернета) отличается только знаками
        1  i  j  k  l  m  n  o
        i -1  k -j  m -l -o  n
        j -k -1  i  n  o -l -m
        k  j -i -1  o -n  m -l
        l -m -n -o -1  i  j  k
        m  l -o  n -i -1 -k  j
        n  o  l -m -j  k -1 -i
        o -n  m  l -k -j  i -1
        Последний столбец говорит, изменились только три знака, поэтому в примитивной таблице умножения октонионов надо сделать всего только три замены: вместо "i" подставить "-i", вместо "m" подставить "-m",  вместо "l" подставить "-l". Но первые две замены мы уже делали (см. лемму), можно сказать, что - это "кватернионные замены" для блоков из первых четырёх строк и столбцов (и блока из последних четырёх строк и столбцов), тогда как замена "l" на "-l" - сугубо октанионная, поэтому вначале мы выполним именно её (подставим в простейшую таблицу сначала "-l" в строку, а затем - в столбец).
        1   i   j     k    l   m   n   o         1  i     j     k   -l  m  n  o
        i  -1  -k   -j   -m  -l  -o -n         i -1    -k  -j  +m -l -o -n
        j   k   -1   -i   -n  -o  -l -m        j   k   -1   -i  +n -o -l -m
        k  j    i    -1   -o  -n  -m  -l       k   j     i  -1  +o -n -m -l
       -l +m  +n  +o  +1  -i  -j  -k     -l +m +n +o -1  -i  -j  -k       
        m   l   o    n    i  -1  -k  -j        m   l    o   n  -i  -1  -k  -j
        n   o   l    m    j   k  -1  -i        n   o    l   m   -j   k  -1  -i
        o   n   m    l    k   j    i  -1        o  n   m   l    -k   j   i   -1
       Две оставшиеся подстановки, вы проделаете без моей помощи, потому что мы их уже делали, когда рассматривали переход от примитивной таблицы умножения кватерниона к таблице умножения, автором которой является Гамильтон.
       Общее число вариантов расстановки знаков в последнем столбце "два в шестой степени", поэтому доказана