Комбинаторная геометрия. Ч 2

Задача с аргентинской олимпиады. С нею ко мне обратился студент Университета Юга, поскольку совершенно не знал, как к такому подступиться. Времени было в обрез, поскольку шла завершающая работа по исследованию и прогнозу заносимости морского канала. Я сказал Денису, что вручную не намерен столь массивную проблему решать. Предложил задачу одолеть на компьютере. В итоге просидели до часу ночи, но успешно справились. Распечатку результатов ему сделал, но и себе копию оставил. На всякий случай. И даже текст проги на языке бейсик догадался отпринтовать. И сейчас такой случай мне представился. В иллюстрации помещаю условие и решение. Ответы довольно интересными оказались. Получилось, что если площадь треугольника S в три раза больше периметра Р, то наблюдается наибольшее количество решений диофантова уравнения S = n P. Конкретно имеются пять возможных вариантов. Но это только при условии, что значения катетов треугольника находятся в диапазоне целых чисел от единицы до пятидесяти. При этом наибольшая величина n составляет только шести.  При n > 6  вариантов вообще нет.
Рассмотрим последний пример, когда S=6P.
Вариант 1: a=36; b=48; S=0.5*36*48=864; P=6[36+48+sqrt(36^2+48^2)]=864.
Вариант 2: a=40; b=42; S=0.5*40*42=840; P=6[40+42+sqrt(40^2+42^2)]=840.

Проверка показала, что аргентинский компьютер, оказывается, не врёт.


5 мая  2023 г.