Об аксиоматики геометрии

Любая теория в основании имеет:
1) Первичные  неопределимые понятия, принимаемые на веру.
2) Первичные принимаемые на веру утверждения о первичных понятиях (постулаты или аксиомы).
3) Первичные  принимаемые на веру правила вывода из имеющихся утверждений новых утверждений.

Любая непротиворечивая теория, содержащая арифметику, неполна, т.е.  содержит утверждения, недоказуемые в рамках данной теории (Курт Фри;дрих Гёдель, 1931г).
Иными словами, доказать или опровергнуть общие утверждения о данной теории возможно только в метатеории, т.е. выходя за рамки данной теории.

Так, например, прямую невозможно определить внутри ее самой.
(Некоторые пытаются это сделать с помощью понятия однородности прямой в любой ее части. Т.е. если передвинуть часть прямой вдоль ее самой, то передвинутая часть также будет частью прямой, т.е. совпадет с ней. Контрпримером этому будет окружность: любой кусок окружности, передвинутый вдоль нее будет совпадать с ней).
Однако таковое возможно на плоскости (т.е. в метапрямой), оперируя понятием меры (расстояния между двумя точками плоскости).

Мерой будем называть неотрицательную аддитивную функцию на заданном множестве точек.

Будем говорить, что множество точек имеет только одну меру, если у него не существует точки, из которой можно провести две линии, не имеющие других общих точек.

Линией будем называть геометрическое место точек, для которой можно ввести лишь одну меру (длину).

Линия может быть подмножеством любого пространства большей размерности.

Линия называется прямой, если существуют такие две точки плоскости, от которых равноотстоят все точки этой линии.

Плоскость можно определить как множество точек (или геометрическое множество точек) трехмерного пространства, равноотстоящих от двух заданных точек.

Итак, первичными неопределимыми понятиями геометрии являются: точка, прямая, плоскость, пространство данной размерности.

Если мы имеем пространство размерности n, то его подпространство размерности (n-1) можно определить, как геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек данного пространства.