Комбинаторная геометрия. Ч 4

Professor FOS  решает задачу номер 27265. Непонятно, что это за нумерация, но не суть важно. Решает частный случай, а именно для прямоугольного треугольника. Проще, как говорится, не придумаешь.
Я же делаю то же самой, но в общем виде. Итак, дан произвольный треугольник. Известен угол B и тангенс угла A. А также длина основания треугольника b. Если опустить из вершины B высоту h до пересечения с основанием b, то получим точку H. Найти нужно отрезок AH. Используя только теорему синуса, я нашел довольно компактную формулу, что в фиолетовой рамке. Сначала по программе, текст которой дам ниже, нашел целочисленные решения для параметров k, угла B (в градусах), b и x. Это первая таблица. Затем решил проверить тестовый пример, который решал Профессор. У него было tg(A)= 1/k где k=5, и b=13. Угол же B - прямой. Ответ получился  x=12.5. Во второй моей таблице его вариант оказался (он на зеленом фоне). Дробность параметра  x  осуществил, чуть изменив одну из команд в основной программе. Это лишний раз убедило меня в правильности выведенной формулы.
Итак, программа:

for k=4 to 100
A=atan(1/k)
A0=A*180/pi
for B0=1 to 179
B=B0/180*pi
for b=1 to 20
x=b*sin(B+A)/sin(B)*cos(A)
if x=int(x) then
s=s+1
print s using "####",k using "####";
print B0 using "####";
print b using "####",x using "####"
fi
next b
next B0
next k

Анализируя таблицы, нетрудно заметить, что если рассматриваемые параметры целочисленные или представима в виде простейшей десятеричной дроби то угол при вершине В кратен 45 градусам. А если треугольник тупоугольный, то В=135 град. Иными словами, полученная общая формула позволяет намного глубже понять задачу и находить неожиданные варианты. В нашем случае совершенно ясно, что адаптированные исходные данные довускают применение простого геометрического анализа с поиском правильного ответа.

Удивляют, правда, некоторые факты, которые можно считать открытиями. Например, если параметр k>4, то искомый отрезок x=AH никак не может быть целочисленным, но возможен с точностью до десятых долей единицы. Последний случай невозможен, если k равно 9,10,11 и 12. Одно решение я нашел лишь при k=13. Хотя, если взглянуть на текст проги, то рассматривались k аж до значения 100. Указанные неожиданности наверняка имеют разумные объяснения и потому даже столь простая задача становится более выпуклой и интересной.
 
6 мая 2023 г.