Задача Эйлера, Сканави и я

Мне в жизни повезло с математиками. И не просто математиками, а Великими Математиками. Были встречи с Андреем Николаевичем Колмогоровым, Владимиром Игоревичем Арнольдом и Марком Ивановичем Сканави. Для меня они - титаны двадцатого века.
Однажды Сканави проводил с нами так называемый коллоквиум, то есть собрание, на котором оценивалось усвоение знаний первого семестра. Мне достался весьма каверзный интеграл с довольно громоздким ответом. Но очень уж хотелось отличиться в глазах мэтра и решил потратить целый час на упрощение многоэтажного выражения. Это, к счастью, удалось. Марк Иванович сравнил мой результат с готовым ответом и печально вынес вердикт: результат неверный. Я же был уверен в своем решении и предложил сопоставить оба выражения численно. В результате оказалось, что они тождественны!
Сканави внимательно просмотрел все черновики с выводом, (на более чем десяти листах!) нашел несколько оригинальных преобразований и даже похвалил. Я же, в свою очередь, не растерялся и попросил задать мне на дом какое-либо известное уравнение или задачу, которую никак не удавалось упростить. Сканави подумал и кратко ответил: "посмотри задачу Эйлера о расстоянии между центрами вписанной и описанной окружностями треугольника, или же Окружность Фурмана". Он даже эту фразу написал на обложке моей тетради для лекций. Как жаль, что тетрадь не сохранилась! Ведь я его попросил и свой автограф чиркнуть.
Конечно, такую задачу нашел в одном из многочисленных учебников. Много хлопот создал числитель, который представлял собой сложный кубический полином. Задача заключалась в наилучшей группировке слагаемых таким образом, чтобы максимальная степень нигде не превышала единицы. На такой умственный подвиг ушло более недели. О ней думал даже ночью и дошел до того, что мог в уме перебирать варианты группировок. Особенно мешал единственный коэффициент тройка. Из-за него хотя бы один параметр оказывался в третьей степени. Требовалась довольно оригинальная идея, чтобы проблему устранить. И где-то на сотой с лишнем пробе удача пришла. Результат виден в прямоугольной раме. В желтой рамочке - один из промежуточных вариантов у которого степень при параметрах не превышает двух. Не знаю - важно это или нет, но событие произошло в конце 1969 года. Вчера я проверил данную формулу по необычайно простой программе: Конечно, красота формулы - просто неописуема! Её достаточно легко запомнить, поскольку состоит из блоков-триад знаменитой формулы Герона для площади треугольника. Включил её в Википедию. Текст проги:

a=6:b=7:c=5
R=a*b*c/sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c))
S=1/4*sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c))
r=2*S/(a+b+c)
d=sqrt(R^2-2*R*r)
d1=sqrt((a*b*c+(b+c-a)*((b-c)^2-a^2))*a*b*c
/((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)))
d2=sqrt(a*b*c/(a+b+c)*(a*b*c/((a+b-c)*
(a-b+c)*(-a+b+c))-1))
print a,b,c,d,d1,d2

Результат:  6 7 5 1.04583 1.04583 1.04583

Марк Иванович попытался еще сильней "ужать" формулу, но лучше не выходило. Через неделю он вручил мне диплом на общей лекции для трех групп нашего факультета. Где-то этот важный документ, возможно, пылится в моих архивных папках.


7 мая 2023 г.