Польская задача. Ч 1

Что из себя представляет  выражение x^3 x - x y^3 ?
Очевидно, что это есть площадь пифагорейских треугольников с целыми сторонами вида (2mn, m^2 - n^2, m^2 + n^2). Последовательность хорошо известна и очень просто вычисляется.
Даты, что в польской задаче присутствуют, есть интервал целых чисел от 1928 до 2022. С ними и будем оперировать. Составим прогу:

n=150
for a=1 to n
for b=a+1 to n
for c=b+1 to n
if a^2+b^2=c^2 then
z=a*b/2
if z>=1928 then
if z<=2022 then
print a,b,z
fi:fi:fi
next c
next b
next a

В наш интервал попали два нужных года: 1944 и 2016.

А вообще-то полная последовательность, вычисленная по данной программе (если убрать пару ограничений):

6, 24, 30, 60, 84, 96, 120, 180, 210, 240, 330, 336, 384, 480, 486, 504, 546, 630, 720, 840, 924, 960, 990, 1224, 1320, 1344, 1386, 1536, 1560, 1710, 1716, 1920, 1944, 2016, 2184, 2310, 2340, 2430, 2520, 2574, 2730, 2880, 3036, 3360, 3570, 3696, 3750, 3840
В энциклопедии числовых последовательностей данный набор известен.
Зная связь этих чисел с тройками Пифагора, вычислим некоторые из них. Пусть примитивная тройка 3,4,5, тогда 3*4/2=6. Это первое число последовательности. Если же будет не примитивная тройка а кратная 18, то должно быть число 54*72/2=1944 - как раз одно из нужных в задаче чисел. Второе число получим из примитивной тройки 16,63,65:
32*126/2=2016. Больше вариантов не будет, что программа и показала.

Но теперь необходимо найти все иксы и игреки.
Решение уравнения x^3*y-x*y^3=1944 особых трудностей не представляет. Пишем совсем уж простую прогу

G=1944
N=15
for x=1 to N
for y=x to N
if G/(x*y)=abs((x^2-y^2)) then
print G,x,y
fi
next y
next x

Получим наши главные x и y  и их знаковые вариации:
x=-9 ; y=-3
x=-3 ; y=9
x=3 ; y=-9
x=9 ; y=3

Точно так же и для года N=2016:
x=-9 ; y=-7
x=-7 ; y=9
x=7 ; y=-9
x=9 ; y=7

Задача полностью решена!

12 мая 2023 г.