Задания для студентов

Преподаватель математики из Зеленограда обратился с просьбой дать около двадцати пяти разных вариантов решения диофантового уравнения:
(a^6-b)/(a^2-b)= P
 Причем все параметры a и b - только нечетные числа. Но никак не единица! Кроме того просил ответить на два существенных вопроса:
1) может ли параметр P быть четным числом?
2) может ли последняя цифра числа P оказаться нечетным числом, отличным от единицы?
Честно говоря, решать и анализировать диофантовы уравнения не очень люблю. К ним, как известно, нужен особый подход. Поэтому, чтобы особо не заморачиваться, решил примеры генерировать программным путем. Быстро набил такой текст:

 rem  ДЛЯ  РЕШЕБНИКА
print "   N     a     b      p  "
print "-------------------------"
for a=3 to 25 step 2
for b=3 to 55 step 2
for p=1 to 15000
z=(a^6-b)/(a^2-b)-p
if z=0 then
if abs(a)<>1 then
if abs(a)<>b then
s=s+1
print s using "####";:print"    +-";
print a using "#",b using "####";
print p using "#######"
fi:fi:fi
next p
next b
next a

и получил таблицу с решениями. Ровно 25 вариантов. Таблицу смотрим в иллюстрации.
Из нее видны ответы на два поставленных вопроса.
Оказывается, параметр P все же может быть четным числом (см. варианты № 3 и 11 - закрашены желтым цветом), а также последняя цифра числа P - это пятерка или семерка (см. строки № 21 и 24).

14 мая 2023 г.