64 штрих

               64'

        Это продолжение статьи 64. Главная особенность этой работы - она чем-то напоминает предыдущую историю, связанную с выводом Закона Всемирного Тяготения. Идею я увидел, стал записывать, она "потерялась", "Эврику" я прокричал в 64, а доводов разума не предоставил, ждал, когда вернётся идея. Сегодня утром идея неожиданно снова блеснула, теперь я начну именно с неё.
        Что главное в гиперкомплексности? Исходный список имён и правила вывода. Таблицы умножения антисимметричных алгебр с делением базируются на XOR таблицах, аргументами которых являются имена, обладающие знаками "+, -". Правила заполнения XOR таблиц с именами без знаков чрезвычайно разнообразны, поэтому возникает подозрение, что если их сделать менее разнообразными, то пользуясь только ими, можно заполнять XOR таблицы именами, обладающими знаками. Первый шаг в этом направлении довольно прост. Можно отказаться от заполнения таблиц строками, заполняя её одними только столбцами (в этом случае строки придётся заполнять при помощи антикоммутативности, то есть путём отражения уже заполненного столбца от главной диагонали таблицы со сменой знака на противоположный). В этом случае последний столбец таблицы заполняется "истинным списком имен со знаками" (в случае октониона существует только "два в восьмой степени" вариантов расстановки знаков для 8 имён, то есть 64. Последний столбец отражается от главной диагонали на последнюю строку и начинается "заполнение октониона по его рамке".

                Заполнение октониона
        Для заполнения таблицы умножения октониона я выбрал октонион Кузьмина из Математической энциклопедии, взяв из неё только расстановку знаков в последнем столбце (см. рис.). Отразил её от главной диагонали, получилась последняя строка "рамки". Заполнил главную диагональ и заполнил центр рамки буквами "h, k".
        "Рамка говорит", что последний столбец должен заполнять, "последние столбцы будущих рамок", поэтому заполняю им столбец "k чёрное" от уже стоящей там "k" вниз до самого конца, а потом со сменой знака на противоположный, от верхнего "k чёрного" вниз. Второй средний столбец рамки точно по тому же самому рецепту заполняю первым столбцом.
        В следующей таблице рисунка исправляю первую строку и главную диагональ и отражаю заполненные столбцы от главной диагонали. Незаполненными остались 4 квадрата 2х2. Они заполняются именами диагоналей, а знаки расставляются так, чтобы в каждом из 4-х кватернионов в каждой строке и каждом столбце было по два "+" и два "-".

                Общий случай
       Заполняем последний столбец  "истинным списком имен со знаками". Изменяем в таблице знаки имён (умножением соответствующей строки и соответствующего столбца на  -1) так, чтобы в последнем столбце сформировалась "последовательность знаков Кузьмина". Заполняем таблицу октониона. Восстанавливаем в таблице знаки имён (умножением соответствующей строки и соответствующего столбца на  -1). Всё!