Трёхпараметрический полином

Подобных задач с двумя параметрами в инете - сколько угодно. И решаются они довольно успешно. Но мне предложили расправиться уже с темя параметрами: икс, игрек и зет. Причем они должны быть только целочисленными! Подобных задач еще ни разу не решал! Аналитика тут никак не помогла, потому что даже развернутая степенная зависимость столь устрашающая, что совсем непонятно - как искать целочисленные значения? Один вариант (кроме чисто нулевого) мне все же найти удалось! Причем  графически. Это показано на довольно красочном рисунке справа. Все три параметра равны другу другу и имеют значение девяти. Проверил подстановкой - и действительно нашел решение в абсолютном виде! Но как быть с остальными, если они вообще существуют? Конечно же - путем перебора вариантов по программе:

rem x^4+y^4+ч^4=(x+y+z)^3
n=1000
print "  N    x    y    z      w"
print "-------------------------"
for x=0 to n
for y=x to n
for z=y to n
if x^4+y^4+z^4=(x+y+z)^3 then
s=s+1
print s using "###",x using "####";
print y using "####",z using "####";
print x^4+y^4+z^4 using "#######"
fi
next z
next y
next x

Число циклов специально задал не менее тысячи, и потому была уверенность, что все варианты обнаружил. Они приведены в таблице. И всего-то их - только четыре! Параметр w - это либо левая, либо правая часть основного исходника. Например w = x^4+y^4+z^4. Интересно, что все варианты дают w=k^9. Например w=2^9=512 или w=3^9=19683.

23 мая 2023 г.