Математическая задача, решаемая с помощью физики

(символ ** - возведение в степень,
(а·b) = |a|·|b|·cos(a,b) - cкалярное произведение векторов a и b,
[a, b] = |a|·|b|·sin(a,b)·n - векторное произведение векторов a и b,
n - единичный вектор перпендикулярно плоскости векторов a и b.
)

I. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ:

На плоскости Oxy задана векторная функция

   f(r ) = (- x · y · i + (x**2) · j) / (|r| ** 3) = fx · i + fy · j      (1)

где i, j - единичные векторы (орты) вдоль горизонтальной Ox и вертикальной Oy осей соответственно,
r - радиус-вектор из центра координат O в точку С с координатами (x, y),
так что r = x · i + y · j.

А. Доказать потенциальность функции f(r ), т.е. тот факт, что интеграл
от f(r ), взятый вдоль кривой ACG (рис. 1), зависит только от координат
точек A и G, но не от того, какой кривой мы их соединили.

Б. Найти для f(r ) потенциальную функцию F(r ), то есть такую, что

              f(r ) = grad F(r ) = (dF / dx) · i + (dF / dy) · j  (2)

II. Предварительные замечания.

Откроем [1] и на странице 177 найдём формулировку (без доказательства) следующей теоремы: "

Для того, чтобы интеграл от векторной функции f(r ) на плоскости не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

                d(fx) / dy = d(fy) / dx. "        (3)

Я проверил это равенство в применении к (1) - оно выполняется. Расчет производных весьма занудный и к тому же вопрос "Б" при этом остаётся открытым. Хочется найти более изящный способ решения задачи. И он есть!

III. Физическое решение задачи.

Перейдём в новую систему координат, в которой произвольная точка С
характеризуется своим расстоянием до центра системы координат точки О
и углом Ф между вектором r = OC и осью Oу. По формулам элементарной
тригонометрии, тогда

             f(r ) = (- sinФ · cosФ · i + (sinФ)**2 · j) / |r|,         (4)

Однако переход в новую СК означает не только преобразование переменных,
но и преобразование ортов. Вместо "горизонтального" орта i и "вертикального" - j,
нам теперь нужен орт e1, направленный вдоль r = OC и перпендикулярный ему
(повернутый относительно e1 против часовой стрелки) орт e2.
Формулы преобразований от пары старых к паре новых ортов выписаны в любом
справочнике по математике, но их легко вывести и самому:

              e1 =   sinФ · i + cosФ · j,                (5а)
              e2 = - cosФ · i + sinФ · j.                (5б)

(Легко найти и формулы для обратных преобразований ортов, но нам они пока не понадобятся)
Записав (5а) как

              sinФ · i = e1 - cosФ · j,

и подставив эту формулу в (4), получим

              f(r ) = (j - cosФ · e1) / |r|,                (6)

Теперь рассмотрим бесконечно длинную железную иглу, ориентированную вертикально так, что её остриё совпадает с центром координат точкой О (рис. 2). Игла намагничена "вверх", и, соответственно, в точке О находится её северный полюс. В той-же плоскости Oxy, что и ранее, расположим замкнутый проволочный виток ACGC'A. Будем крутить плоскость Oxy вместе с витком ACGC'A вокруг оси Oy с какой-то угловой скоростью W (W = |W| · j).
Чему равна величина Е Э.Д.С. индукции Фарадея, возникающая при этом в витке ACGC'А? Нулю, очевидно!
Поскольку

                E = - dФ' / dt                (7)

где Ф' - магнитный поток через замкнутую поверхность ACGC'A (приходится снабдить штрихом стандартный символ магнитного потока, чтобы не путать его с углом Ф, введённым ранее), а Ф' = 0 всё время вращения (силовые линии магнитной индукции B( r) полюса иглы лежат в плоскости витка).
Производная функции "тождественный ноль" - тождественный ноль! Е = 0!
Теперь вспомним строгое определение Э.Д.С. - это величина работы сторонних сил при обходе единичного заряда q = 1 по замкнутому контуру ACGC'A. (Математически - формула (1) на рисунке вверху справа.)
В роли сторонней силы в данном случае выступает сила Лоренца

                Fл = q · [v( r); B( r)]                (8)

где v( r) = [W; r] - вектор скорости вращения участка контура длиной dh с центром в точке С вокруг оси Oy. Таким образом, равен нулю интеграл по замкнутому контуру ACGC'A от выражения

                f(r ) = [v( r); B( r)] = [[W; r]; B( r)]           (9)

Преобразуя двойное векторное произведение через сумму скалярных произведений по известной формуле векторного анализа

                [[a; b]; c]  = b · (a · c) - c · (a · b)

приведём (9) к виду

                f(r ) = W · (B( r) · r) - r · (B( r) · W)            (10)

Наконец, вспоминая выражение для магнитной индукции поля северного полюса магнита-иглы

                B( r) = (1 / r**2) · e1                (11)

и подставляя (11) в (10), получим

                f(r ) = |W| · (j - cosФ · e1) / |r|

что с точностью до несущественной константы совпадает с (6). Таким образом, интеграл
по замкнутой кривой от f(r ) есть ноль, что эквивалентно утверждению о потенциальности f(r ). Утверждение "А" из условия доказано.

Теперь для вычисления потенциала нужно взять кривую интегрирования поудобнее.
Оптимально рассмотреть ломаную, состоящую из отрезка прямой вдоль радиуса ОА от точки А до окружности длиной OG и дуги этой окружности до точки G (не показано, чтобы не загромождать рисунок). ЭДС на первом участке, очевидно, ноль и нам надо проинтегрировать (6) только по вышеупомянутой дуге.
Для этого запишем обратные преобразования ортов:

              i =  sinФ · e1 - cosФ · e2,                (12а)
              j =  cosФ · e1 + sinФ · e2.                (12б)

и, подставив (12б) в (6), преобразуем (6) к виду

              f(r ) = (sinФ · e2) / |r|,                (13)

Нам нужно взять интеграл от (13) вдоль кривой (дуги окружности), то есть вычислить сумму скалярных произведений

               dF = f(r ) · dh = (sinФ / |r|) · (dh · e2),

где dh - бесконечно малый вектор, соединяющий 2 соседние точки на кривой ACG.
Для дуги окружности, скалярное произведение векторов (dh ·e2) совпадает с произведением их модулей,  так что
                (dh·e2) = |r| · dФ

где dФ - угол, "заметаемый" точкой С при перемещении вдоль дуги окружности (для кривой ACG на рисунке 1, dФ - отрицательное число).
Таким образом,

                dF  = sinФ · dФ,                (14)
               
Полученное выражение (14) интегрируется элементарно, давая разность значений
потенциальной функции F(r ) в конечной ("G") и начальной ("A") точках плоскости:

                F(G) - F(A) = cosФ(G) - cosФ(A)           (15)       

Легко возвратиться в Декартову систему и записать окончательный результат как

                F(r ) =  y / |r|.

Любитель математики может в своё удовольствие посчитать и проверить, что, действительно

                dF(x, y ) / dx = - (x · y) / (|r| ** 3)

(слагаемое перед "i" в (1)), а

                dF(x, y ) / dу =  (x**2) / (|r| ** 3)

(слагаемое перед "j" в (1)), как и должно быть для потенциальной функции.

Резюме: не преподаю математику с 1998 года, но уверен, что задача в задачниках по матанализу есть. А вот насчёт именно предложенного способа решения, такой уверенности нет. Поэтому я и решил выставить его на всеобщее обозрение - может, какому-то студенту когда-нибудь пригодится.

[1] Г. Корн, Т. Корн, "Справочник по математике", М.: "Наука, 1979, 830 с.

P.S. а вот ещё одна чисто математическая задачка:
доказать, что

                P1 + P2 + P3 = 1         (16)               

где

Р1 = (th(a - b) / th(a + b))**2

Р2 = (th 2a·th 2b) / (th(a + b)·ch(a - b) )**2

Р3 = (th 2a·th 2b)·(th(a - b) / sh(a + b))**2

Здесь "а" и "b" - произвольные действительные числа,
sh, ch и th - гиперболические синус, косинус и тангенс соответственно,
** - символ возведения в квадрат. Любитель алгебры может вдоволь потешиться, проверяя монстрообразную формулу (16) для произвольных действительных а и b. Я обнаружил (16) в 1984 году. Сейчас, много лет спустя, уже не помню, как мне тогда удалось доказать её.  Есть физический способ доказательства:
Если рассмотреть квантовомеханическую задачу о рассеянии элементарной частицы нейтрон на доменной стенке Ландау-Лифшица
https://magn.ru/prakt/online/domain_wall.html
. Частица после соударения могла лететь в одном из трёх направлений. В классической физике она бы полетела по строго определённой траектории, в микромире же рассеяние возможно по всем трём, как говорят, каналам -
но с разной вероятностью. А поскольку хоть в каком - то из трёх направлений рассеяние всё же гарантированно произойдёт, сумма этих вероятностей равна единице:
                P1 + P2 + P3 = 1                (16)
 Р1  , Р2 и Р3 и есть вероятности рассеяния нейтрона в по разным направлениям.
Подробности в статье автора N7 в списке работ по ссылке внизу этой моей страницы (которая от 2010 года).