Заполнение таблицы умножения октонионов

                Заполнение октониона
        Чтобы рассуждать о заполнении таблицы умножения октонионов, неплохо бы иметь перед глазами уже кем-то заполненную таблицу. Однако тут возникает проблема, потому что в Википедии приводится одна таблица умножения, а в Математической энциклопедии (Москва, 1982, том 3, стр. 162) - другая. Википедия - не фирма, никакой ответственности за напечатанное не несёт, иное дело "Математическая энциклопедия", изданная ещё в СССР, в 1982 году. Уже в те времена таблица умножения октонионов на Западе отличалась от таблицы умножения октонионов из СССР. Я жил в те времена и, смею вас заверить, материал проверялся и перепроверялся тысячи раз, прежде чем появиться на страницах "Энциклопедии", изданной в СССР, поэтому я верю советской таблице и буду пользоваться ей.
        Мы живём в такое время, когда о России врут все, кому не лень. Вот США - иное дело, что бы они ни "ляпнули" - это истина в последней инстанции. Приведу пример, когда СССР объявил, что у него есть водородная бомба, ему никто не поверил. Это было время, когда ядерные испытания в атмосфере происходили каждый день. СССР взорвал водородную бомбу в атмосфере, американцы это обнаружили, но стали говорить, что она не настоящая, потому что настоящую бомбу сделали они. Пришлось взорвать "Сатану" - вот тут все шутки кончились. Мир "закусил губу" - все стали ждать, чем ответит США. А ответить было нечем, потому что водородной бомбы у США до сир пор нет. Отец водородной бомбы есть, а самой бомбы - нет, была бы - они бы её показали. Вместо этого США вдруг испытали приступ, проснувшегося в них гуманизма, стали требовать запрета ядерных испытаний в атмосфере и прочая, прочая, прочая...
       Когда США делали атомную бомбу - шла война, поэтому над ней работали лучшие умы Америки. А в мирное время лучшие умы зарабатывают деньги, не связывая себя с Министерством Обороны. В Америке нет желающих изобретать водородную бомбу, а заставить иностранцев работать за деньги над этой проблемой - это быть последним идиотом.
        Современный мир словам России не верит от слова "вообще", чтобы просто восстановить справедливость, следует взорвать ещё одну Сатану и обязательно пообещать, что будем взрывать ещё и ещё, пока ястребы "Свободного Мира" не останутся без работы. После второго взрыва Мир успокоится лет на 50, потому что США - показать нечего!

        Таблица умножения октонионов из "Математической энциклопедии" имеет вид

    0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
   +1 -0 +3 -2 -5 +4 -7 +6
   +2 -3 -0 +1 -6 +7 +4 -5
   +3 +2 -1 -0 -7 -6 +5 +4
   +4 +5 +6 +7 -0 -1 -2 -3
   +5 -4 -7 +6 +1 -0 -3 +2
   +6 +7 -4 -5 +2 +3 -0 -1
   +7 -6 +5 -4 +3 -2 +1 -0

        Бросается в глаза (см. рис. отрицательные числа имеют красный цвет), что заполнение таблицы умножения гиперкомплексных чисел - это краевая проблема, в том смысле, что её содержимое полностью определяется элементами, находящимися на её границе. Действительно, вначале выписываем только "рамочку". Заполняем в ней диагональ из "-0". После этого четвёртый столбец заполняем первым столбцом, то есть от "минус нуля" вниз записываем "+0, +1, +2, +3". Далее, сверху (с противоположного конца этого же столбца) записываем "-4, -5, -6, -7". Исправляем рамку, то есть у "+4, +0 +3" меняем знак на противоположный. В завершение отражаем заполненный столбец от главной диагонали со сменой знака на противоположный. Это содержание второго кадра.
        На следующем кадре тоже самое проделываем с последним столбцом. (на предыдущем шаге мы первым столбцом заполняли первый столбец второй половины таблицы, теперь будем заполнять последним столбцом рамки последний столбец первой половины таблицы). Заносим от "-0" вниз: "+7, +6, -5, +4"; далее, сверху (с противоположного конца этого же столбца) записываем со сменой знака на противоположный: "+3, -2, +1, +0". Исправляем рамку, то есть у "+4, +0 +3" меняем знак на противоположный. В завершение отражаем заполненный столбец от главной диагонали со сменой знака на противоположный.
        Из одной рамки мы получили 4 рамки половинного размера. Это схема индуктивного заполнения гиперкомплексной таблицы любого размера. Она будет ещё раз применена завтра для заполнения седениона (четыре внутренних квадратика, отчетливо видимые на кадре 4, заполняются по той же самой схеме, у каждого из них своя рамка, сей труд предоставляется читателю в качестве упражнения).