На пути к кубическому уравнению. Ч 1

Конечно, кубическое уравнение на порядок сложней, чем квадратное. Поэтому каждое новое исследование полинома третьей степени весьма приветствуется. Это хорошо понимал Марк Иванович Сканави. Он предлагал нам, начинающим студентам, рассмотреть разные частные задачи. Мне, например, посоветовал рассмотреть выражение в целых числах тождество x^3-x^2=a. Помню прекрасно, как удалось сделать, якобы, мировое открытие. Оказалось, что для каждого неизвестного икса обнаруживаются ровно по два решения: одно с положительным "a", другое - с отрицательным. Они, хотя и не равны по модулю, но довольно близки. При помощи арифмометра смог осилить исследования только для икса от нуля до десяти. Нашел по два корня и обнаружил, что их разности и суммы по модулю подчиняются закономерностям:

|a(+)-|a(-)||=2*x^2 ;  |a(+)+|a(-)||=2*x^3.

Например, для x=5 разница равна 2*5^2=50, а сумма равна 2*5^3=250. Cмотрим на таблицу - так оно и есть: при х=5 в последней колонке разность равна 50, а сумма равна |150|+100=250.
Чисто умозрительно я предположил, что целочисленных решений только два для каждого икса, и они показаны в иллюстрации в рамках. Мне нужно было лишь доказать, что никаких иных решений быть не должно.
Марк Иванович был сильно удивлен открытием и предложил исследовать более трудные варианты кубического уравнения.
Совсем недавно, вернулся к этой задаче и при помощи программы уже могу значительно расширять диапазон параметров. Это чтобы убедиться в единственности найденных двух общих формул. Программа такая:

rem  Исследование диофантова
rem  уравнения X^3-x^2=a
print "N  x  a-min  a-max  |del-a|"
print "---------------------------"
for x=25 to 1 step -1
for a1=0 to 17000 step 1
if abs((x)^3+(x)^2)=a1 then amin=a1:fi
next a1
for a2=1 to 15000
if (x)^3-(x)^2=a2 then amax=a2:fi
next a2
s=s+1
if x=1 then
amax=0:amin=-amin
print s,x,amin,amax,-amin
end
fi
print s,x,-amin,amax,amin-amax
next x

В иллюстрации приведена таблица, построенная по данной проге. Видно, что мое предположение оказалось верным. Имеют место только указанные две зависимости между иксами и параметром "a".

30 мая 2023 г.