Заполнение двойными крестами

                Заполнение двойными крестами

             Евгений Кузьмин               Артур Кэли
       +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7       +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1 –0 +3 –2 –5 +4 –7 +6        +1 –0 +3 –2 +5 –4 –7 +6
        +2 –3 –0 +1 –6 +7 +4 –5        +2 –3 –0 +1 +6 +7 –4 –5
        +3 +2 –1 –0 –7 –6 +5 +4        +3 +2 –1 –0 +7 –6 +5 –4
        +4 +5 +6 +7 –0 –1 –2 –3        +4 –5 –6 –7 –0 +1 +2 +3
        +5 –4 –7 +6 +1 –0 –3 +2        +5 +4 –7 +6 –1 –0 –3 +2
        +6 +7 –4 –5 +2 +3 –0 –1        +6 +7 +4 –5 –2 +3 –0 –1
        +7 –6 +5 –4 +3 –2 +1 –0        +7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0

        Для заполнения таблицы XOR надо иметь список имён, соорудить рамку и заполнить таблицу "умножения" "крестами".

        0 1 2 3 4 5 6 7        0 1 2 3 4 5 6 7        0 1 2 3 4 5 6 7        0 1 2 3 4 5 6 7
        1 0 _ 2 5 _ 7 6        1 0 _ 2 5 _ 7 6        1 0 _ 2 5 _ 7 6        1 0 _ 2 5 _ 7 6
        2 _ 0 1 6 7 _ 5        2 _ 0 1 6 7 _ 5        2 _ 0 1 6 7 _ 5        2 _ 0 1 6 7 _ 5 
        3 _ _ 0 7 _ _ 4        3 2 1 0 7 _ _ 4        3 2 1 0 7 _ _ 4        3 2 1 0 7 6 5 4 
        4 _ _ 7 0 _ _ 3        4 5 6 7 0 _ _ 3        4 5 6 7 0 _ _ 3        4 5 6 7 0 1 2 3
        5 _ 7 _ _ 0 _ 2        5 _ 7 _ _ 0 _ 2        5 _ 7 6 1 0 _ 2        5 _ 7 6 1 0 _ 2
        6 7 _ _ _ _ 0 1        6 7 _ _ _ _ 0 1        6 7 _ 5 2 _ 0 1        6 7 _ 5 2 _ 0 1
        7 6 5 4 3 2 1 0        7 6 5 4 3 2 1 0        7 6 5 4 3 2 1 0        7 6 5 4 3 2 1 0
        Октонион заполняется двойным крестом: верхний двойной луч, состоящий из полного списка имён; левый двойной луч, нижний двойной луч, правый двойной луч. Незаполненными остались диагонали из троек и четвёрок (отчётливо видны 4 рамки кватернионов, в которых одна диагональ осталась незаполненной, но в каждой строке и в каждом столбце таблицы набор имён должен быть полным).
        Вариантов заполнения  таблицы логической связки XOR без знака можно предложить очень много, но если следовать духу принципа наименьшего действия, то среди них мог бы существовать оптимальный вариант, который по рамке, в которой имена обладают знаками, автоматически заполняет XOR таблицу не только именами, но и знаками.

        С начала возьмём рамку таблицы Артура Кэли (смотри выше рис.)
        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1 –0   3   2   5   4   7 +6        +1 –0  3  2 +5  4  7 +6        +1 –0  3  2 +5  4  7 +6
        +2   3 –0   1   6   7   4 –5        +2  3 –0  1 +6  7  4 –5        +2  3 –0  1 +6  7  4 –5
        +3   2   1 –0   7   6   5 –4        +3  2  1 –0 +7  6  5 –4        +3  2  1 –0 +7  6  5 –4
        +4   5   6   7 –0   1   2 +3        +4  5  6  7 –0  1  2 +3        +4 -5 –6 –7 –0 +1 +2 +3
        +5   4   7   6   1 –0   3 +2        +5  4  7  6 -1 -0  3 +2        +5  4  7  6 –1 –0  3 +2
        +6   7   4   5   2   3 –0 –1        +6  7  4  5 –2  3 –0 –1        +6  7  4  5 –2  3 –0 –1
        +7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0        +7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0        +7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0


        Воспользуемся подсказкой Артура Кэли "знаки столбца "4" говорят", что для заполнения "столбца 4" Кэли воспользовался первым столбцом "+7, +6, +5, +4"; далее, сменяя знак на противоположный продолжил "-3, -2, -1, -0" (строку "4" он заполнил отражением столбца "4" от главной диагонали, получив одинарный крест).
        Далее он стал заполнять столбец "3", где клеточка "7" уже заполнена, поэтому он заполняется знаками "-6, +5", а затем сверху со сменой знака на противоположный "-2 +1"  (строку "3" он заполнил отражением столбца "3" от главной диагонали, получив двойной крест, разделяющий октонион на 4 кватерниона)

        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1 –0   3 –2 +5   4   7 +6
        +2   3 –0 +1 +6   7   4 –5
        +3 +2 –1 –0 +7 +6 –5 –4
        +4 –5 –6 –7 –0 +1 +2 +3
        +5   4   7 –6 –1 –0   3 +2
        +6   7   4 +5 –2   3 –0 –1
        +7 –6 +5 +4 –3 –2 +1 –0   (не заполнены знаки диагоналей четырёх квадратиков).

        А теперь возьмём альтернативную рамку таблицы Евгения Кузьмина (смотри выше рис.)

        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1 –0   3   2   5   4   7 +6        +1 –0  3  2 –5  4  7 +6        +1 –0  3 –2 –5  4  7 +6
        +2   3 –0   1   6   7   4 –5        +2  3 –0  1 –6  7  4 –5        +2  3 –0 +1 –6  7  4 –5
        +3   2   1 –0   7   6   5 +4        +3  2  1 –0 –7  6  5 +4        +3 +2 –1 –0 –7 –6 +5 +4
        +4   5   6   7 –0   1   2 –3        +4 +5 +6 +7 –0 –1 –2 –3        +4 +5 +6 +7 –0 –1 –2 –3
        +5   4   7   6   1 –0   3 +2        +5  4  7  6 +1 –0  3 +2        +5  4  7 +6 +1 –0  3 +2
        +6   7   4   5   2   3 –0 –1        +6  7  4  5 +2  3 –0 –1        +6  7  4 –5 +2  3 –0 –1
        +7 –6 +5 –4 +3 –2 +1 –0        +7 –6 +5 –4 +3 –2 +1 –0        +7 –6 +5 –4 +3 –2 +1 –0

        +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
        +1 –0   3 –2 –5   4   7 +6
        +2   3 –0 +1 –6   7   4 –5
        +3 +2 –1 –0 –7 –6 +5 +4
        +4 +5 +6 +7 –0 –1 –2 –3
        +5   4   7 +6 +1 –0   3 +2
        +6   7   4 –5 +2   3 –0 –1
        +7 –6 +5 –4 +3 –2 +1 –0   (не заполнены знаки диагоналей четырёх квадратиков).



        И теперь то, что делалось со столбцами, будем делать со строками. Воспользуемся подсказкой Евгения Кузьмина - "знаки строки "4" говорят", что для заполнения "строки 4" Кузьмин воспользовался первой строкой "+4, +5, +6, +7"; далее, сменяя знак на противоположный, он продолжил " -0, -1, -2, -3" (столбец "4" он заполнил отражением строки "4" от главной диагонали, получив одинарный крест).
        Далее он стал заполнять строку "3" последней строкой, от уже заполненной клеточки "-7", строка заполняются знаками "-6, +5", а затем слева со сменой знака на противоположный "+2 -1"
  (столбец "3" он заполнил отражением строки "3" от главной диагонали, получив двойной крест, разделяющий октонион на 4 кватерниона).
        С этого момента становится очевидно, что хотя таблицы умножения разные, однако речь в них идёт об речь идёт об одном и том же объекте, в котором столбцы и стоки равноправны.

        Заполнение квадратиков начнём со вспомогательной диагонали, выбираем наиболее удобный для рассуждений столбец (им оказался "6" столбец, в котором +5 уже записано), поэтому заполняется "+4" ("+5" уже записано), далее смена знака (+6 уже записано - пропускаем), записываем "-7", отражаем от главной диагонали.
        Заполняем строку "5", которая заполняется последним столбцом, записываем "+7" ("-6" уже заполнено - пропускаем), смена знака ("+5" сверху уже заполнено - пропускаем), записываем поэтому "-4", отражаем от главной диагонали.
        Кватернион правого верхнего угла заполнен по определению, аналогичный кватернион левого нижнего угла отличается от верхнего знаками первой строки (там стоят только минусы, следовательно, все результаты умножения в незаполненых квадратиках должны иметь противоположный знак.